3. Ряды

Выражение вида

,

(3.1)

где называетсячисловым рядом. Числа ,, …,,… называютсячленами ряда, число -общим членом ряда.

Сумы

, , …,

называются частичными суммами ряда, а - -й частичной суммой ряда (3.1). Если существует конечный , то ряд (3.1) называетсясходящимся, а - егосуммой. Если не существует или бесконечен, то ряд (3.1) называетсярасходящимся.

Теорема 3.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд (3.1) сходится, то .

Замечание 3.1. Обратное утверждение теоремы 3.1 неверно, то есть, если , то из этого не следует, что ряд(3.1) сходится. Например, в гармоническом ряде общий член ряда стремится к нулю, однако ряд расходится.

Замечание 3.2. Если , то ряд(3.1) расходится.

Ряды с положительными членами

Теорема 3.2 (признаки сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами

,	(3.2)
,	(3.3)

и начиная с некоторого номера выполняется неравенство, то

1. Из сходимости ряда (3.3) следует сходимость ряда (3.2);

2. Из расходимости ряда (3.2) следует расходимость ряда (3.3).

Замечание 3.2. Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

1) геометрический ряд - сходится при, расходится при;

2) гармонический ряд - расходится;

3) обобщенный гармонический ряд - сходится при, расходится при.

Пример 3.1. Доказать сходимость ряда .

Решение. Для установления сходимости данного ряда воспользуемся неравенством

()

и сравним данный ряд со сходящимся рядом ,. Согласно признаку сравнения (теорема 3.2), исходный ряд сходится.

Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как для любого, то члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда. Значит, исходный ряд расходится.

Теорема 3.3 (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами , и существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды одновременно сходятся либо расходятся.

Пример 3.3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим (выбор такого ряда для сравнения может подсказать то, что при больших ).

Так как , то данный ряд так же, как и гармонический, расходится.

Теорема 3.3 (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел . Тогда:

1) при данный ряд сходится;

2) при ряд расходится;

При признак Даламбера не дает ответ на вопрос о сходимости или расходимости ряда: он может и сходиться, и расходиться. В этом случае сходимость ряда исследуют с помощью других признаков.

Пример 3.4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Поскольку , , то

.

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Теорема 3.4 (радикальный признак Коши). Пусть для ряда с положительными членами существует предел . Тогда:

1) при данный ряд сходится;

2) при ряд расходится;

При радикальный признак Коши неприменим.

Пример 3.5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

Следовательно, данный ряд сходится.