Матан1-2(диффуры)

1	2		2	0
1	2		0	-1
1	2		1	-1
1	2		0	i
1	2		1	i
1	2		0	1
1	2		2	1
1	2		0	1+i
0	1		2	0
2	2		0	2
2	2		1	2
i	-i		0	i
2+i	2-i		0	2
2+i	2-i		0	2+i

Теорема. Если , то , где отвечает за

, а отвечает за . - частное решение уравнения , а - частное решение уравнения .

Операционное счисление.

Понятие изображения и оригинала.

- оригинал.

1. , если

2. Кусочно-непрерывная.

3. - растет не быстрее чем показательная функция.

- произвольное комплексное число.

- изображение , лапласово изображение, преобразование Лапласа, трансформанта.

Теорема. О единственности.

Если , и , то .

Если , и , то .

- функция Хевисайда.

Свойства преобразования Лапласа.

Теорема. Линейности.

Если , и , то .

Изображение линейной комбинации равно линейной комбинации изображений

Постоянный множитель выносится за знак изображения.

Доказательство:

Пример:

1)

2)

Теорема. Подобия

Доказательство:

Пример:

1. 

2. 

3. 

Теорема. Смещения.

Доказательство:

Пример:

1. 

2. 

Теорема. Дифференцирования оригинала.

Доказательство:

Пример:

Следствия:

Пример:

Теорема. Теорема о дифференцировании изображения (умножении)

Доказательство:

Пример:

1. 

2. 

3. 

Теорема. Об интегрировании оригинала.

Доказательство:

Пример:

1. 

2. 

Примеры:

Теорема. Деления (интегрирования изображения)

Если - оригинал и - изображение .

Пример:

Теорема. Запаздывания

Пример:

Сворачивание функций.

Теорема. О свертке.

=

Дельта – функция Дирака.

Решение дифференциальных уравнений операционным

методом.

- неизвестная функция.

1)

2)

3. 

4. 

5. , где задана графически.