8111 практика 1-36 / Практика18.Один_замечательный_предел
.pdf
p
Практика 18. Один замечательный предел lim n 1+x 1
x!0 x
0
17.1. Раскрытие неопределенности 0
Пример 1. ( 444) Найти предел p
n
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lim |
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1 + x 1 |
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(n |
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целое число, не равное 0): |
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x!0 |
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x |
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При x ! 0 имеем неопределенность |
0 |
. |
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0 |
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1. Рассмотрим сначала n 2 N. |
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Для n = 1, очевидно, lim |
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1 + x 1 |
= 1; |
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x!0 |
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p |
x |
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1 |
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1 + x 1 |
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||||||||||||
для n = 2 справедливо lim |
1 + x |
= lim |
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= |
1 |
: |
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x!0 |
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x |
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x!0 x |
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p1 + x + 1 |
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2 |
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n |
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n |
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тогда |
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, |
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|||||
Пусть n > 2. Введем новую переменную t = p1 + x 1, |
x = (1 + t) 1 |
t ! 0 |
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при x ! 0, поэтому |
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|||||||
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n |
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p |
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lim |
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1 + x 1 |
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= lim |
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t |
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= lim |
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t |
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= |
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x!0 |
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|
x |
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t!0 (1 + t)n 1 |
t!0 |
1 + nt + Cn2t2 + : : : + tn 1 |
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= lim |
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1 |
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= |
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1 |
: |
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||||||
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n + C2t + : : : + tn 1 |
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t |
! |
0 |
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n |
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n |
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|||||
Здесь |
2 |
= |
n(n 1) |
|
биномиальный коэффициент. При вычислении последнего предела |
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Cn |
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2 |
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|||
использовали свойство конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой:
lim Cn2t + : : : + tn 1 = 0:
t!0
Таким образом,
2. Åñëè n 2 N , òî
p
n
|
lim |
|
1 + x 1 |
= |
|
1 |
|
|
8 |
n |
2 N |
: |
|
(1) |
|||||||
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|
n |
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||||||||||||||
|
x!0 |
|
x |
|
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||||||||||
m = n 2 N è |
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||||
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m |
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p |
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n |
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1 |
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1 |
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1 + x |
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||||
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||||||||
p1 + x |
|
1 = |
|
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1 = |
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|
; |
||||
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||||||||||
|
m |
|
|
|
m |
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|
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|
p1 + x |
|
|
p1 + x |
|
|||||||||||||
воспользовавшись полученным результатом (1), имеем
p
n
lim |
1 + x 1 |
= |
lim |
x!0 |
x |
|
x!0 |
p
m1 + x 1 p
x m 1 + x
p
m
= |
lim |
1 + x 1 |
lim |
1 |
= |
|
1 |
= |
1 |
: |
|
x |
|
|
|
||||||||
m |
|
||||||||||
|
x!0 |
x!0 |
p1 + x |
|
m n |
|
|||||
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
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Пример 2. ( 450) Найти предел |
|
rr
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3 |
1 + |
x |
4 |
1 + |
x |
||||||||
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|||||||||
|
|
3 |
4 |
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|
||||||||||
lim |
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|
: |
|||
|
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|
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|
|||||
|
! |
|
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1 r1 |
2 |
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|||||
x |
|
0 |
|
|
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|
|
|
|
x |
|
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|
При x ! 0 имеем неопределенность 00. Преобразуем данную функцию следующим образом:
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r |
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r |
|
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|
r |
|
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1 |
r |
|
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1 |
|
p 3 x=3 p 4 x=4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + 3 |
|
1 + |
4 |
|
|
1 + 3 |
|
1 + 4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
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|
|
|
|
x |
|
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
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|
|
|
x |
|
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|
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|||||||||||
3 |
|
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|
4 |
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|
3 |
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4 |
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3 1+x=3 1 4 1+x=4 1 |
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= |
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|
= |
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|
p |
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1 |
: |
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|||||||||||||||
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|
|
x |
|
|
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|
|
|
|
x |
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|
1 x=2 |
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1 r1 |
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|
r1 |
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|
1 |
|
|
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|
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2 ( x=2) |
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|
2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 ñèëó (1) имеем |
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|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
1 |
|
t ! 0 |
|
= t!0 |
|
|
|
|
|
= 3; |
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x!0 |
x=3 |
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 + x=3 |
|
|
t = x=3 |
|
|
|
|
p3 |
1 + t |
|
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|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t ! 0 |
|
= t!0 |
|
|
|
|
= 4; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x!0 |
|
x=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 + x=4 |
|
|
t = x=4 |
|
|
|
|
p4 |
1 + t |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||
|
|
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|
|
|
x!0 p |
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x=2 |
|
|
|
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|
t |
0 |
|
|
= t!0 |
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= 2 |
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||
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|
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2 1 x=2 1 |
|
t = x=2 |
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p2 1 + t 1 1 |
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
поэтому
rr
|
|
|
3 1 + |
x |
4 |
1 + |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
31 31 41 41 |
|
7 |
|
|||||||||||
lim |
3 |
4 |
= |
: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
! |
0 |
1 r1 2 |
|
1 |
|
1 |
36 |
||||||||||||
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 3. ( 455) Найти предел p
m x 1
lim p (m; n целые числа, не равные 0):
x!1 n x 1
При x ! 0 имеем неопределенность 00. Введем новую переменную t = x 1, поделим числитель и знаменатель на t 6= 0 и воспользуемся результатом примера 1:
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m |
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lim |
p1 + t 1 |
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x!1 |
m |
t ! 0 |
t!0 |
m |
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||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
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||||||||||||||
px 1 |
p1 + t 1 |
|
lim p1 + t 1 |
|||||||||||||||||
lim |
px 1 |
= |
|
t = x 1 |
|
= lim |
p1 + t 1 |
|
= |
t!0 |
|
t |
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|||||
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
t!0 |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
t |
|||
1
= m1 = mn :
n
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
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17.2.Раскрытие неопределенности 1 1
Пример 4. ( 462) Найти предел
p |
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|
p |
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lim 3 x3 |
+ 3 |
x2 |
|
x2 |
x : |
||
x!+1 |
|
|
2 |
||||
При x ! +1 имеем неопределенность 1 1. Преобразуем данную функцию следующим образом:
|
p3 x3 + 3x2 px2 2x = x 3 1 + 3=x jxj 1 2=x = |
x =0x |
= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x > |
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|||||||
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p |
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p |
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j |
j |
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||||||
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3 |
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1 |
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1 |
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1 + 3=x |
1 2=x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
= 3 |
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|
3 |
1 + 3=x 1 |
+ 2 |
|
|
|
1 2=x 1 |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|
|
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|
|
|
|
p |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
Òàê êàê |
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|
1=x p |
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|
3=x |
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|
p |
2=x |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
x!+1 p |
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1 |
= |
t ! 0 |
|
= t!0 |
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1 |
|
= 3; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
3=x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
t |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
1 + 3=x |
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|
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|
t = 3=x |
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|
p3 1 + t |
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
lim |
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|
lim |
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|||||
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p |
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|||||||||
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||||
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|
x!+1 p 2=x |
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|
t |
|
0 |
|
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|
|
= t!0 |
|
|
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|
|
2 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
t |
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|
|
! |
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
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||||||||
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
2=x |
|
|
1 |
= |
|
|
t = |
|
2=x |
|
|
lim |
|
|
|
1 + t |
|
|
1 |
= |
1 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||
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|
|
lim |
x3 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
2 |
x |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x!+1 |
|
|
+ 3 |
|
|
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|
= 3 3 |
= 2 |
|
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|
|
|
|
|
|
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17.3.Задачи для самостоятельной работы
448, 449, 451 453, 455.1, 457 461, 463, 464, 466, 467.
Номера задач даны согласно учебному пособию:
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.