Практика 14. Повторение, подготовка к контрольной работе

( 128 а) Пусть последовательности fxng è fyng расходятся. Можно ли утверждать, что последовательность fxn + yng также расходится? Привести соответствующие примеры.

Этого утверждать нельзя. Сумма двух расходящихся последовательностей может

быть как расходящейся, так и сходящейся последовательностью 1. Например, если xn = ( 1)n à yn = ( 1)n+1, то их сумма xn + yn = 0 является стационарной сходящейся последовательностью; если же xn = ( 1)n è yn = ( 1)n, то их сумма xn + yn = 2( 1)n является расходящейся последовательностью.

Пример 2. 129. Пусть fxng бесконечно малая последовательность, т. е.

lim xn = 0;

n!1

è fyng произвольная последоватльность. Можно ли утверждать, что

lim xnyn = 0?

n!1

Привести соответствующие примеры.

Этого утверждать нельзя. Произведение бесконечно малой и произвольной последо-

вательностей может как быть бесконечно малой, так и не быть бесконечно малой последовательностью. Например, если xn = 1=n, è yn = n, то их произведение xnyn = 1 является стационарной последовательностью, сходящейся к 1, которая при этом не будет бесконеч- но малой; если xn = 1=n2, è yn = n, то их произведение xnyn = 1=n является бесконечно малой последовательностью.

Пример 3. Доказать ограниченность последовательности

an = (2n3 + n2 n)(0; 5)n; n 2 N

и доказать по определению, что это будет предел данной последовательности:

8 " > 0 9 N 2 N : 8 n > N jan aj < ":

1См. лекцию 10, примеры 10.1-10.3.

1

Указание: смотрите практику 12.

Пример 8. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

Пример 10. Доказать, что последовательность fang, ãäå

p

a1 = 4; an+1 = 6 + an; n 2 N;

имеет предел, и найти его. Указание: смотрите практику 11.

2

14.1.Задачи для самостоятельной работы

44, 108, 111, 127, 128 (á), 130.

1. Доказать ограниченность последовательности fang, исходя из определения

9C > 0 : 8 n 2 N janj C:

2.Найти предел a последовательности fang.

3.Доказать по определению, что a будет пределом данной последовательности:

8 " > 0 9 N 2 N : 8 n > N jan aj < ":

Доказать сходимость последовательности

двумя способами: пользуясь теоремой о монотонной и ограниченной последовательности и критерием Коши.

Доказать, что последовательность fang, ãäå

p

a1 = 1; an+1 = 3 6 + an; n 2 N;

имеет предел, и найти его. Ответ: 2.

Номера задач даны согласно учебному пособию:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.

3