Практика 16. Ограниченность функции; предел функции

16.1.Ограниченность функции

Определение 1. Функция f(x) называется о г р а н и ч е н н о й н а п р о м е ж у т к е X

или л о к а л ь н о о г р а н и ч е н н о й, если ограничено множество значений 1 этой функции при x 2 X, т. е.

9 m; M : 8 x 2 X m f(x) M:

Если X = D(f), то указание на множество X (соответственно, слово "локально\) опускают.

Определение 2. Точную верхнюю (нижнюю) грань множества значений функции f(x), x 2 D(f), называют в е р х н е й (н и ж н е й) г р а н ь ю функции и обозначают

M0 = supff(x)g = sup f(x) = sup f (m0 = infff(x)g = inf f(x) = inf f) :

Если рассматривают значения функции лишь на множестве X 2 D(f), то говорят о в е р х н е й (н и ж н е й) г р а н и функции на множестве X и пишут

Пример 1. Показать, что функция

x2 f(x) = x4 + 9

является ограниченной.

Вывод: 9 m = 0; M = 1=6 : 8 x m x4 + 9 M; ò. å. f(x) = x4 + 9 ограниченная.

Пример 2. ( 385) Исследовать на ограниченность функцию

f(x) = ln x sin2 x

âинтервале (0; ").

Òàê êàê 0 sin2 x 1, а функция ln x монотонно возрастающая и ограничена сверху нулем, если 0 < " 1, и числом ln ", если " > 1, то f ограничена сверху:

f(x) maxf0; ln "g:

1Можно написать определения локально ограниченной функции снизу, сверху аналогично определениям ограниченных множеств в лекции 3.

1

Из определения по Гейне предела функции в точке вытекает

Следствие 16.1. Если существуют последовательности fxng è fxng точек из области определения функции f, сходящихся к точке a и отличных от a, для которых последовательности ff(xn)g è ff(xn)g соответствующих значений функции сходятся к разным пределам или хотя бы одна из них расходится, то функция при x ! a предела не имеет.

Пример 6. Доказать, что функция f(x) = sgn x (ðèñ. 2) не имеет предела в точке x = 0.

Область определения этой функции X = R. Точка x = 0 является предельной точкой этого множества, так как в любой "-окрестности этой точки содержатся точки из X, не совпадающие с x = 0.

Возьмем две последовательности fxng è fxng точек из X, сходящихся к точке x = 0

11

èотличных от 0: xn = n è xn = n. Соответствующие последовательности ff(xn)g è ff(xn)g являются стационарными: f(xn) = 1, f(xn) = 1 и сходятся одна к едини-

це, другая к минус единице. Значит, предел функции f(x) = sgn x в точке x = 0 не существует.

Доказать, что не существует предел функции f(x) = cos x в точке x = 0.

Заметим, что x = 0 предельная точка D(f). Выберем последовательности fxng, fxng, сходящиеся к 0 и отличные от 0, так, чтобы f(xn) = 1, f(xn) = 0.

Нетрудно видеть, что последовательности

удовлетворяют этим требованиям. Соответствующие им последовательности ff(xn)g è

ff(xn)g значений функции стационарные и сходятся к разным значениям. Это доказывает отсутствие предела функции f(x) = cos x в точке x = 0.

16.3.Арифметические свойства предела функции

Благодаря определению 4 предела функции на языке последовательностей арифмети- ческие свойства предела последовательности легко переносятся на случай предела функции.

Теорема 16.1. Пусть для функций f(x) è g(x) существуют пределы lim f(x) è lim g(x):

x!a x!a

а) Применяя теоремы о пределе алгебраической суммы (1) и произведения (2), находим предел знаменателя

Предел знаменателя не равен нулю, поэтому по теореме о пределе частного (3) получаем

б) Здесь числитель и знаменатель стремятся к нулю:

т. е. имеет место неопределенность вида 00. Теорема о пределе частного (3) непосредственно неприменима.

Äëÿ "раскрытия неопределенности\ надо сократить в числителе и знаменателе одина- ковый сомножитель (x 1), èç-çà которого мы и имеем эту неопределенность. Обратим

внимание, что x 1 6= 0 при x ! 1, так как x "близко\ к единице, но x 6= 1. Разделив числитель и знаменатель на (x 1), получим при x 6= 1 равенство

16.4.Задачи для самостоятельной работы

383, 384, 387, 390, 412, 414, 419, 420;

Для функции f(x) из задачи 384 доказать, что не существует lim f(x), используя

x!0

следствие 16.1.