Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8111 практика 1-36 / Практика12.Критерий_Коши

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

148.84 Кб

Скачать

☆

Практика 12. Критерий Коши

Следующее необходимое и достаточное условие позволяет судить о сходимости последовательности без нахождения предела, лишь по расстоянию между последующими членами последовательности.

Критерий Коши. Последовательность fxng сходится тогда и только тогда, когда

8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N; 8 p 2 N jxn+p xnj < ":

(1)

Последовательность, удовлетворяющую условию (1), называют ф у н д а м е н т а л ь - н о й или п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю К о ш и.

Поскольку критерий Коши это необходимое и достаточное условие сходимости последовательности, это означает, что если

9 " > 0 8 N 2 N : 9 n > N; 9 p 2 N : jan+p anj ";

(2)

то последовательность fang расходится.

Пример 1. ( 82) Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

xn = a0 + a1q + : : : + anqn; ãäå jakj < M (k = 1; 2; : : :); jqj < 1:

Очевидно,

xn+p = a0 + a1q + : : : + anqn + an+1qn+1 + : : : + an+pqn+p;

jxn+p xnj = jan+1qn+1 + : : : + an+pqn+pj jan+1jjqn+1j + : : : + jan+pjjqn+pj

Mjqjn+1(1 + : : : + jqjp 1) < Mjqjn+1(1 + : : : + jqjp 1

+ : : :) = Mjqjn+1

1 jqj

Возьмем произвольное " > 0. Так как

Mjqjn+1

< "

1 jqj

тогда и только тогда, когда

jqjn < "

1 jqj

;

q M

è jqj < 1, òî ïðè

j j

"(1 jqj)

n > log

jqj jqjM

модуль разности jxn+p xnj будет меньше ".

Вывод:

jqjM

2 N j

n+p

jqj

" > 0

N =

log

"(1 jqj)

n > N;

< ":

Таким образом, последовательность сходится на основании критерия Коши.

Пример 2. ( 84) Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

cos 1!

cos 2!

cos n!

xn =

+ : : : +

1 2

2 3

n(n + 1)

Для произвольного " > 0 и всех натуральных p имеем

jxn+p xnj =

cos(n + 1)!

cos(n + 2)!

cos(n + p)!

(n + 1)(n + 2) +

(n + 2)(n + 3) + : : : +

(n + p)(n + p + 1)

+ : : : +

(n + 1)(n + 2)

(n + 2)(n + 3)

(n + p)(n + p + 1)

+ : : : +

n + 1

n + 2

n + 3

n + p

n + p + 1

< "

n + 1

n + p + 1

n + 1

ïðè n > 1=":

Вывод:

8 " > 0 9 N = [1="] : 8 n > N; 8 p 2 N jxn+p xnj < ":

Таким образом, последовательность сходится на основании критерия Коши.

Пример 3. ( 85) Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

xn = 1 +

+ : : : +

Указание. Воспользоваться неравенством

; n 2:

(n 1)n

n 1

Для произвольного " > 0 и всех натуральных p имеем

jxn+p xnj =

+ : : : +

(n + 1)2

(n + 2)2

(n + p)2

+ : : : +

n + 1

n + 2

n + 3

n + p

n + p + 1

< "

n + 1

n + p + 1

n + 1

при n > 1=" и n 2. Вывод:

8 " > 0 9 N = [1="] + 2 : 8 n > N; 8 p 2 N jxn+p xnj < ":

Таким образом, последовательность сходится на основании критерия Коши.

Пример 4.

Последовательность fxng сходится тогда и только тогда, когда fxng фундаментальная. Записать в кванторах это утверждение и его отрицание 1.

Исходное утверждение:

(9 a 2 R : 8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N jxn aj < ")	,
, (8 " > 0 9 N(") 2 N : 8 n > N; 8 p 2 N jxn+p xnj < ") :
Его отрицание:
(8 a 2 R 9 " > 0 : 8 N 2 N 9 n > N : jan aj ")	,

, (9 " > 0 : 8 N 2 N 9 n > N; 9 p 2 N : jxn+p xnj ") :

Последовательность fxng расходится тогда и только тогда, когда fxng не является фундаментальной.

Пример 5. ( 88) Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательно-

ñòè

xn = 1 +

+ : : : +

Поскольку

jxn+p xnj =

+ : : : +

;

n + 1

n + 2

n + p

òî ïðè p = n

jxn+p xnj > 1=2

для всех n. Вывод:

9 " = 1=2 : 8 N 2 N 9 n = N + 1 > N; 9 p = n : jxn+p xnj > ":

Таким образом, последовательность расходится на основании критерия Коши. Пример 6. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

	p		p		p
xn =	1	+	2	+ : : : +	n 1		:
	2		3
						n

Поскольку

+ : : : +

n + 1

n + p 1

> p

j n+p

n + 1 n + 2

n + p

òî ïðè p = n

jxn+p xnj >

n ; n + p

для всех n. Вывод:

9 " = 1=2 : 8 N 2 N 9 n = N + 1 > N; 9 p = n : jxn+p xnj > ":

Таким образом, последовательность расходится на основании критерия Коши.

1О т р и ц а н и е в логике операция над утверждением, результатом которой является утверждение (в известном смысле) ¾противоположное¿ исходному.

Пример 7. ( 92) Åñëè

lim xn = a, то что можно сказать о пределе

n!1

xn+1

lim

Очевидно,

n!1

lim xn+1 = lim xn = a:

n!1

xn+1

lim xn+1

Åñëè

a 6= 0

, òî

nlim

n!1

= 1:

lim x

n!1

Если a = 0, то выражение

xn+1

представляет собой неопределенность

ïðè n ! 1.

Пример 8. ( 96) Найти наибольший член последовательности

xn =

Найдем отношение членов последовательности

xn+1

(n + 1)22n

1 +

2n+1n2

Òàê êàê 1 +

< 2 тогда и только тогда, когда 1 + n1

< p2, òî ïðè n > p2 + 1 > 2

вытекает, что последовательность fxng монотонно убывает начиная с третьего элемента. Поэтому наибольший член содержится среди элементов x1; x2, x3. Сравнив между собой эти три элемента, находим, что

9 maxfxng = x3 = 8:

12.1.Задачи для самостоятельной работы

83, 86, 94, 90, 97, 100.

Доказать, что последовательность fxng фундаментальная, если

xn = 0; 77 : : : 7; n 2 N:

| {z}

nöèôð

Доказать сходимость последовательности

	1		1	1		; n 2 N;
xn =		+		+ : : : +
	12 + 3		22 + 3		n2 + 3

a) пользуясь критерием Коши; б) пользуясь теоремой о монотонной и ограниченной последовательности.

Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательностей:

xn =	1	+	2	+ : : : +			n	; n 2 N;

	22		32			(n + 1)2
				1			n
xn = ( 1)n 1 +							; n 2 N:
					n

Соседние файлы в папке 8111 практика 1-36

#
27.03.2015174.26 Кб42Практика 1. Метод математической индукции.pdf
#
27.03.2015187.04 Кб43Практика 2. Бином Ньютона. Свойства модуля..pdf
#
27.03.2015148.84 Кб97Практика12.Критерий_Коши.pdf
#
27.03.2015172.64 Кб53Практика13.Подпоследовательности;верхний_и_нижний_пределы_последовательности.pdf
#
27.03.2015147.99 Кб41Практика14.Повторение,подготовка_к_контрольной_работе.pdf
#
27.03.2015121.38 Кб45Практика15.Контрольная работа на тему_Предел последовательности.pdf
#
27.03.2015193.95 Кб39Практика16.Ограниченность_функции;предел_функции.pdf
#
27.03.2015204.37 Кб39Практика17.Бесконечно_малые_и_бесконечно_большие_функции;предел_композиции_функций.pdf