8111 практика 1-36 / Практика 2. Бином Ньютона. Свойства модуля
..pdf
Практика 2. Бином Ньютона. Свойства модуля.
1.1.Бином Ньютона
Бином Ньютона формула для разложения на отдельные слагаемые натуральной степени n суммы двух переменных, имеющая вид
|
(a + b)n = Cn0an + Cn1an 1b + : : : + Cnkan kbk + : : : + Cnnbn; |
(1) |
|||||||
ãäå |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
Cnk = |
|
|
(k = 0; 1; 2; |
: : : n) биномиальные коэффициенты; |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
k!(n |
|
k)! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! = 1 2 : : : n факториал1 числа n. |
|
|||
В таком виде формула (1) была известна ещ¼ индийским математикам 2. |
|
||||||||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
n! |
|
||
|
|
|
|
|
C0 = |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
|
0!(n 0)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при k 1 биномиальные коэффициенты преобразуются следующим образом:
|
|
|
|
Cn1 = |
|
|
n! |
|
= |
(n 1)!n |
= n; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1!(n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Cn2 = |
|
|
n! |
|
|
= |
(n 2)!(n 1)n |
|
= |
|
n(n 1) |
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|||||||||||
|
|
|
2!(n |
2)! |
|
2!(n 2)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Cn3 = |
n! |
|
= |
(n 3)!(n 2)(n 1)n |
|
= |
|
n(n 1)(n 2) |
; |
||||||||||||||
3!(n 3)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3!(n 3)! |
|
3! |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Cnk = |
n(n 1) : : : (n (k 1)) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
; |
k = 1; n: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Запись k = 1; n означает, что k принимает всевозможные целые значения от 1 до n. |
||||||||||||||||||||||||
Биномиальные коэффициенты обладают следующими свойствами: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Cnk = Cnn k; |
Cnk + Cnk 1 = Cnk+1: |
|
(2) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Полагая в формуле (1) значения a = 1, b = x, получаем (1+x)n = P Cnkxk: Подставляя
k=0
в это равенство x = 1, находим сумму3 всех биномиальных коэффициентов степени n:
n
X
Cnk = 2n:
k=0
1Факториал числа n произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. По определению полагают 0! = 1. Факториал определ¼н только для целых неотрицательных чисел.
2Индийские математики, видимо, первыми открыли биномиальные коэффициенты и их связь с биномом Ньютона. Исаак Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степенипроизвольное рациональное число (возможно, отрицательное). В этом случае бином представляет собой бесконечную сумму. К изучению этого случая мы обратимся позднее.
3Это свойство биномиальных коэффициентов было известно индийским математикам еще во II веке до н. э..
1
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
2 |
|
|
Пример 1. ( 5) Доказать справедливость формулы бинома Ньютона для любой натуральной степени n.
Докажем это равенство методом математической индукциии.
1.При n = 1 имеем (a + b)1 = a + b верное равенство.
2.Предположим, что утверждение верно для некоторого n = m:
m |
|
|
|
Xk |
|
|
|
(a + b)m = |
Cmk am kbk; |
|
|
=0 |
|
|
|
докажем утверждение для n = m + 1: |
|
|
|
m+1 |
|
|
|
Xk |
|
+1am+1 kbk: |
|
(a + b)m+1 = |
Cmk |
(3) |
|
=0 |
|
|
|
Èòàê, |
|
|
|
m |
|
m |
m |
X |
|
X |
Xk |
(a + b)m+1 = (a + b)(a + b)m = (a + b) Cmk am kbk = Cmk am k+1bk + |
Cmk am kbk+1: |
||
k=0 |
|
k=0 |
=0 |
Извлеч¼м из первой суммы слагаемое при k = 0: |
|
|
|
m |
m |
|
|
X |
Xk |
|
|
Cmk am k+1bk = am+1 + Cmk am k+1bk: |
|
||
k=0 |
=1 |
|
|
Извлеч¼м из второй суммы слагаемое при k = m: |
|
|
|
m |
m 1 |
|
|
X |
Xk |
|
|
Cmk am kbk+1 = bm+1 + Cmk am kbk+1: |
|
||
k=0 |
=0 |
|
|
Переобозначим индекс суммирования в последней сумме введем индекс i = k + 1, пробегающий значения от 1 до m, так как индекс k меняется от 0 до m 1, тогда k = i 1:
m 1 |
m |
m |
|
|
|
|
X |
X |
Xk |
|
|
|
|
|
Cmk am kbk+1 = Cmi 1am i+1bi = Cmk 1am k+1bk: |
|||||
k=0 |
i=1 |
=1 |
|
|
|
|
Теперь сложим преобразованные суммы: |
|
|
|
|
|
|
m |
m |
m |
Ck |
|
||
Xk |
X |
X |
am k+1bk +bm+1: |
|||
am+1 + Cmk am k+1bk +bm+1 + Cmk 1am k+1bk = am+1 + Cmk +Cmk 1 |
||||||
|
|
|
|
|
m+1 |
|
=1 |
k=1 |
| |
|
|
{z |
} |
k=1 |
|
|
|
|||
Учитывая второе из свойств (2) è òî, ÷òî Cm0 +1 = 1 è Cmm+1+1 = 1, получим требуемое равенство (3).
Таким образом, на основании принципа математической индукции можно заключить, что равенство (1) справедливо при любом натуральном n.
Иногда метод математической индукции применяется в несколько видоизмененной форме. Если требуется доказать истинность предложения A(n); n 2 Z, для всех целых
значений n m (m некоторое целое число), то
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
3 |
|
|
1.проверяют истинность предложения A(m);
2.допустив истинность предложения A(k) (k целое, k > m), доказывают истинность высказывания A(k + 1).
Если доказательство верно для любого целого значения k > m, то в соответствии с принципом математической индукции предложение A(n) является истинным для всех значе- ний n m.
Пример 2. ( 7) Доказать, что если x > 1, то 8n > 1 справедливо неравенство
(1 + x)n 1 + nx;
причем знак равенства имеет место лишь при x = 0. Это неравенство называют неравенством Бернулли.
Заметим, что если x = 0, то 8n > 1 имеем равенство 1 = 1. Покажем, что при n > 1
èx > 1 (x 6= 0) получим строгое неравенство (1 + x)n > 1 + nx:
1.При n = 2 утверждение выполняется, так как (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x:
2.Пусть неравенство справедливо при некотором n = k, k > 2. Докажем справедливость предложения при n = k + 1:
(1 + x)k+1 > 1 + (k + 1)x:
Действительно,
(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x) > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2 > 1 + (k + 1)x:
1.2.Модуль действительного числа
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа a называется неотрицательное число jaj, равное числу a, если a > 0, и числу a, если a < 0:
8 |
|
2 R |
|
j j |
|
( |
a; |
åñëè a < 0. |
|
a |
|
; |
a |
= |
a; |
|
åñëè a 0; |
Из определения модуля следуют следующие свойства (для всех a; b 2 R):
1.jaj 0;
2.jaj = j aj;
3.jaj a jaj;
4.jabj = jajjbj (åñëè b 6= 0; òî ja=bj = jaj=jbj).
5.jaj b , b a b;
6.ja + bj jaj + jbj;
7.ja bj jjaj jbjj.
О. А. Кузенков, Е. А. Рябова |
4 |
|
|
Пример 3. ( 21(а)) Доказать неравенство jx yj jjxj jyjj.Для любых x; y 2 R справедливо равенство
jxj = j(x y) + yj;
тогда из неравенства треугольника следует, что
jxj jx yj + jyj;
т. е. jx yj jxj jyj, при этом, очевидно,
jx yj = jy xj jyj jxj = (jxj jyj);
т. е. jxj jyj jx yj. В результате получили:
jx yj jxj jyj jx yj;
что, согласно свойству 5, равносильно выполнению исходного неравенства.
1.3.Задачи для самостоятельной работы
Доказать свойства (2) биномиальных коэффициентов.
11, 14, 21(á), 23 - 29.
Номера задач даны согласно учебному пособию:
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.