Практика 35. Монотонность и экстремум

35.1.Монотонность функции

Определение 35.1. Говорят, что функция f(x) монотонно возрастает (убывает) на интервале (a; b), если для любых двух точек x1 è x2 интер- вала (a; b), удовлетворяющих условию x1 < x2 справедливо неравенство

Определение 35.2. Говорят, что функция f(x) строго монотонно возрастает (убывает) на интервале (a; b), если для любых двух точек x1 è x2 интервала (a; b), связанных условием x1 < x2 справедливо неравенство

Теорема 35.1.1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция f(x) монотонно возрастала (убывала) на этом интервале, необ-

ходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

Теорема 35.1.2. Åñëè f0(x) > 0 (f0(x) < 0) для всех x 2 (a; b), то функция f(x) строго монотонно возрастает (убывает) на этом интервале.

Пример 35.1 ( 1289). Доказать неравенства

x > 0 è F 0(x) < 0 при x < 0. Согласно теореме 35.1.2 функция F строго монотонно убывает (до нуля) при x < 0 и строго монотонно возрастает (от нуля) при x > 0. Таким образом, F (x) = ex 1 x > 0 ïðè x 6= 0,

что и требовалось доказать.

(в) Рассмотрим функции F (x) = x sin x и G(x) = sin x x+ x3 . Íàäî

6

доказать, что F (x) > 0 и G(x) > 0 при x > 0. Заметим, что F (0) = 0. Производная F 0(x) = 1 cos x > 0 ïðè 0 < x < 2 è F 0(x) 0 при x 2 . Значит, F (x) строго возрастает при x 2 (0; 2 ) и не убывает при x 2 . Следовательно, F (x) > 0 при x > 0.

1

Аналогично, G(0) = 0. Воспользовавшись неравенством sin x < x при x > 0 оценим

Значит, G(x) строго возрастает при x > 0. Следовательно, G(x) > 0 при x > 0. Неравенства доказаны.

35.2.Экстремум функции

Определение 35.3. Пусть функция f(x) определена всюду в некоторой окрестности точки c. Говорят, что функция f(x) имеет в точке c локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки c, что для любого x 6= c из этой окрестности f(c) f(x) (f(c) f(x)).

Говорят, что функция f(x) имеет в точке c строгий локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность точки c, что для любого x 6= c из этой окрестности f(c) > f(x) (f(c) < f(x)).

Теорема 35.2.1. Необходимое условие экстремума функции.

Если функция f(x) дифференцируема в точке c и имеет в этой точ- ке экстремум, то f0(c) = 0.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются с т а ц и о н а р н ы м и точками функции. Внутренние точки области определения функции, в которых не существует производной функции, называются к р и т и ч е с к и м и точками функции.

Стационарные и критические точки называют т о ч к а м и в о з - м о ж н о г о э к с т р е м у м а.

Определение 35.5. Пусть функция f(x) определена в окрестности точ- ки c всюду, кроме, может быть самой точки c. Говорят, что функция f(x) меняет знак при переходе через точку c с плюса на минус, если существует "-окрестность точки c такая, что f(x) 0 при c " < x < c и f(x) 0 при c < x < c + ".

Говорят, что функция f(x) меняет знак при переходе через точку c с минуса на плюс, если существует "-окрестность точки c такая, что f(x) 0 при c " < x < c и f(x) 0 при c < x < c + ".

Говорят, что функция f(x) меняет знак при переходе через точку c с плюса на минус строго, если существует "-окрестность точки c такая, что f(x) > 0 при c " < x < c и f(x) < 0 при c < x < c + ".

2

Говорят, что функция f(x) меняет знак при переходе через точку c с минуса на плюс строго, если существует "-окрестность точки c такая, что f(x) < 0 при c " < x < c и f(x) > 0 при c < x < c + ".

Теорема 35.2.2 (Первое достаточное условие экстремума) . Пусть точ- ка c является точкой возможного экстремума функции f(x), и пусть

функция f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки c, кроме, может быть самой точки c. Тогда, если при переходе через точку c производная f0(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) имеет в точке c локальный максимум (минимум). Если при переходе через точку c функция f0(x) знак не меняет, то экстремума в точке c нет.

Пример 35.2. Исследовать на экстремум функцию

Ïðè x2 = 0 экстремума нет, а при x3 = 1 функция имеет максимум, равный нулю.

Пример 35.3. Найти экстремумы следующей функции

Исследуем знак приращения функции f(x) в точке x = 0. Имеем

при всех x 6= 0. Следовательно, функция имеет при x = 0 минимум, равный f(0) = 0. При x 6= 0 рассмотрим уравнение f0(x) = 0. Очевидно,

f0(x) = x 2e jx1j ((p2 + sin x1 )sgnx cos x1 ); x 6= 0:

p

Поскольку j sin x1 + cos x1 j 2 для всех x 6= 0, то производная при переходе через точки, в которых она обращается в ноль, знак не меняет,

поэтому других экстремумов функция не имеет.

3

Пример 35.4. Найти экстремум функции

f(x) = arctan x 12 ln(1 + x2);

ãäå x 2 R.

Производная f0(x) = 1+x2 обращается в ноль только при x = 1.

1+x

Поскольку f0(1 ") > 0, à f0(1 + ") < 0, 0 < " < 1, то в точке x = 1 функция имеет максимум, равный 4 12 ln 2.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции

1.Находим стационарные и критические точки функции.

2.Вычисляем значения функции в этих и граничных точках.

3.Выбираем из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Пример 35.5 ( 1447). Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = jx2 3x + 2j на отрезке [ 10; 10].

1. Находим производную

f0(x) = (2x 3) sgn(x2 3x + 2); x 6= 1; x 6= 2;

отсюда получаем точки возможного экстремума: стационарную точ- ку x1 = 3=2 , критические точки x2 = 1, x3 = 2.

2.Вычисляем значения функции в точках возможного экстремума и граничных точках:

f(x1) = 1=4; f(x2) = 0; f(x3) = 0; f( 10) = 132; f(10) = 72:

3.Сравнивая между собой найденные значения, приходим к выводу, что наибольшее значение функции равно 132, а наименьшее равно 0.

35.3.Задачи для самостоятельной работы

1289(á, ã), 1414, 1416, 1429, 1433, 1435, 1437, 1439, 1448.

4