Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8111 практика 1-36 / Практика_11._Монотонные_последовательности_и_их_свойства

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

175.64 Кб

Скачать

☆

Практика 11. Монотонные и ограниченные последовательности

11.1.Существование предела монотонной и ограниченной последовательности

Определение 1. Последовательность fang называется в о з р а с т а ю щ е й, если при всех n

an an+1:

Последовательность fang называется у б ы в а ю щ е й, если при всех n

an an+1:

Åñëè an < an+1, соответственно, an > an+1 для всех n, то говорят о с т р о г о м в о з - р а с т а н и и и с т р о г о м у б ы в а н и и последовательности.

Определение 2. Последовательность fang называется м о н о т о н н о й, если она воз-

растает или убывает.		fang называется
Последовательность			с т р о г о м о н о т о н н о й, если она строго
возрастает или строго убывает.
Теорема 11.1.	Åñëè	монотонно возрастающая последовательность fang ограни-
чена сверху,	òî îíà	сходится. При	ýòîì
		nlim!1 an = supfang:

Теорема 11.2. Если монотонно убывающая последовательность fang ограничена снизу, то она сходится. При этом

lim an = inffang:

n!1

Теорема 11.3. Последовательность

1		n
an = 1 +		; n 2 N;
	n
монотонно возрастает и ограничена сверху.

Определение 3. Предел последовательности f n1 + n1 ng называют ч и с л о м e:
n!1 1 + n
lim		1	= e:

Пример 1. ( 69) Доказать, что последовательность
1		n+1
bn = 1 +			; n 2 N;
	n

монотонно убывает и ограничена снизу. На основании этого установить, что 1

1		n	1		n+1
1 +			< e < 1 +		:	(1)
	n			n

Последовательность fbng ограничена снизу числом 1. Покажем, что fbng монотонно убывает. Для этого рассмотрим частное

n+1

n+2

n+1

1 + n

bn+1

n+2

= n(n + 2)!

1 +

n + 1 =

+ 2n

n+2

n + 1

= 1 + n(2 + n)

n+2

n + 1:

(n + 1)2

n2 + 2n + 1

В силу неравенства Бернулли1 имеем

n + 1 = 1 + n

n + 1 = 1:

bn+1 > 1 + n(2 + n)

n + 2

Таким образом, bn > bn+1 при всех n. Поэтому согласно теореме о пределе монотонной

последовательности предел

lim b

= lim

1 +

n+1

Заметим, что

n!1

n n

существует.

= 1 + n

1 + n :

Поскольку

lim

1 + 1

= 1, то сославшись на теорему о пределе произведения, получим

равенство

n!1

n+1

= n!1

n!1 1 + n

lim

1 +

= e:

Значит,

1 + n1

n % e, à

1 + n1

n+1 & e. Убедившись, в том, что множество

1 + n1

не имеет

n+1

наибольшего элемента, а

n+1

1 +

наименьшего, делаем вывод

1 + n < e < 1 + n

Пример 2. ( 75 а) Доказать неравенство

1			1			1
n + 1	< ln	1 +	n	<	n		;
n + 1			n		n

где n любое натуральное число.

Взяв натуральный логорифм от всех частей неравенства 1, получим

n ln	1 + n		< 1 < (n + 1) ln	1 + n		:
	1			1

Отсюда следует требуемое неравенство.

1См. практику 2, пример 2: если x > 1, òî 8n > 1 справедливо неравенство

(1 + x)n 1 + nx;

причем знак равенства имеет место лишь при x = 0.

Пример 3. ( 77) Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограни- ченной последовательности, доказать сходимость последовательности

an = p0	+	p1	+	p2	+ : : : +		pn	; (n = 1; 2; : : :);
				2			n
	10			10		10

ãäå pi целые неотрицательные числа, не превышающие 9, начиная с p1.Òàê êàê

pn+1

an+1 an = 10n+1 > 0;

òî an+1 > an; следовательно, последовательность строго монотонно возрастает. Кроме того,

an p0 +	9	+	9	+ : : : +	9	< p0 +	9	+	9	+ : : : = p0 +	9=10	= p0 + 1:

	10		102		10n		10		102		1 1=10

Здесь воспользовались формулой суммы членов бесконечно убывающей прогрессии. Итак, последовательность является ограниченной свеху, откуда вытекает существование ее предела.

Пример 4. ( 80) Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограни- ченной последовательности, доказать сходимость последовательности:

an =	1 + 2 1 +		22		1 +	2n		:
	1		1			1

Имеем

an+1

= 1 +

> 1;

2n+1

следовательно, последовательность возрастает.

Ограниченность вытекает из неравенств

< 2

+: : :+ 2n +: : : =

1 1=2 = 1:

ln an = ln 1 + 2

+ln 1 +

+: : :+ln 1 +

При оценке воспользовались неравенством примера 2.

Таким образом, an < e для всех n и последовательность fang возрастает, значит, она сходится.

Пример 5. Доказать, что последовательность fang, ãäå

a1 = 0; an+1 = 6 + an; n 2 N;

имеет предел, и найти его.

Рассмотрим разность

= p

6 + an an2

an2 an 6

(an 3)(an + 2)

6 + a

n+1

p6 + an + an

Очевидно, что an + 2 > 0 è 6 + an + an. Выясним соотношение между членами после-

довательности fang и числом 3.		an < 3. Äî-
Из формулы общего члена последовательности можно предположить, что
кажем это методом математической индукции.
an2	+1 > an2 ; 8 n 2 N:	(2)

1.При n = 1 это соотношение истинно, так как a1 = 0 < 3.

2.Пусть при некотором n = k, k 2 N выполняется ak < 3, тогда при n = k + 1 будет

справедливо неравенство

ak+1 = 6 + ak < 6 + 3 = 3:

Таким образом, на основании принципа математической индукции можно заключить, что an < 3 при любом натуральном n и, следовательно,

an+1 an > 0:

Тем самым мы доказали не только монотонное возрастание последовательности fang, íî

и ее ограниченность сверху числом 3, значит, существует lim an = a: Заметим, что a > 0.

n!1

Переходя к пределу в равенстве

a2n+1 = 6 + an

и учитывая, что lim an+1 = a; получаем

n!1

a2 = 6 + a;

откуда находим a = 3. Значит, lim an = 3:

n!1

11.2.Задачи для самостоятельной работы

70, 72, 73, 74, 78, 79, 81.

Найти предел последовательности из 81.

Номера задач даны согласно учебному пособию:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.

Соседние файлы в папке 8111 практика 1-36

#
27.03.2015204.68 Кб42Практика33.Формула Тейлора (продолжение).pdf
#
27.03.2015110.7 Кб38Практика34.К_Р Дифференцирование функций одного переменного.pdf
#
27.03.2015167.88 Кб39Практика35.Монотонность и экстремум.pdf
#
27.03.2015167.67 Кб40Практика36.Выпуклость функции, точки перегиба, асимптоты.pdf
#
27.03.2015144.84 Кб38Практика_10._Нахождение_пределов_последовательностей.pdf
#
27.03.2015175.64 Кб36Практика_11._Монотонные_последовательности_и_их_свойства.pdf
#
27.03.2015138.66 Кб34Практика_3_Ограниченные_и_неограниченные_множества_действительных_чисел.pdf
#
27.03.2015170.05 Кб35Практика_4._Числовые функции.pdf
#
27.03.2015201.93 Кб35Практика_5._Элементарные_функции_и_их_свойства.pdf
#
27.03.2015415.18 Кб43Практика_6._ Графики_функций.pdf
#
27.03.2015165.6 Кб37Практика_7._Предел_последовательности.pdf