Практика 3. Ограниченные и неограниченные множества действительных чисел

3.1.Ограниченные и неограниченные числовые множества.

Пусть A некоторое непустое множество действительных чисел: A R.

Множество A называется о г р а н и ч е н н ы м с в е р х у, если 9 M 2 R : 8 a 2 A a M: Число M при этом называется верхней гранью множества A.

Множество A называется о г р а н и ч е н н ы м с н и з у, если 9 m 2 R : 8 a 2 A a m: Число m при этом называется нижней гранью множества A.

Множество A называется о г р а н и ч е н н ы м, если оно ограничено сверху и снизу, т. е. 9 m; M 2 R : 8a 2 A m a M:

Если ввести обозначение C = maxfjmj; jMjg, то последнее определение можно сфор-

мулировать иначе.

Множество A называется о г р а н и ч е н н ы м, если 9C > 0 : 8a 2 A jaj C: Множество A называется н е о г р а н и ч е н н ы м, если 8C > 0 9a 2 A : jaj > C:

Очевидно, для всех n 2 N справедливо неравенство

n

bn

> 0:

Поскольку b 1 > 0, то согласно доказанному в практике 2 неравенству примера 2 ( 7) имеем для всех n 2 N:

bn = (1 + b 1)n 1 + n(b 1) > n(b 1);

1

9 m = 0; M = b 1 : 8a 2 A m a M;

что и означает ограниченность множества A.

1

Доказать, что множество A = fa : a = n + ( 1)nn; n 2 Ng неограниченное.Если n = 2k, то ( 1)2k = 1 и a = 4k. Пусть C произвольное положительное число.

Возьмем четное число n = 2k, большее C (например, 2k = 2 ([C] + 1), где [C] целая часть числа C), тогда

Для произвольного положительного числа C возьмем n > 16C (например, n = [16C] + 1), тогда jaj > 16n > C и, значит, множество A неограниченное.

3.2.Точные верхние и нижние грани.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества A называется т о ч н о й в е р х н е й г р а н ь ю этого множества и обозначается sup A.

Число является точной верхней гранью множества A, т. е. = sup A, если

1.8 a 2 A a ;

2.8 " > 0 9 a 2 A : a > ":

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества A называется

òо ч н о й н и ж н е й г р а н ь ю этого множества и обозначается inf A. Число является точной нижней гранью множества A, т. е. = inf A, если

1.8 a 2 A a ;

2.8 " > 0 9 a 2 A : a < + ":

2

Пример 5. ( 18a). Пусть f xg множество чисел, противоположных числам x 2 fxg. Доказать, что inff xg = supfxg.

Так как из x m , x 2 fxg, следует, что x m , x 2 f xg, то существование supfxg = m влечет за собой существование inff xg.

ßñíî, ÷òî x m.

Далее, для произвольного " > 0 существует такой элемент x 2 f xg, что

m x < m + ";

поскольку существует такой x 2 fxg, что m " < x m. Следовательно,

inff xg = m = supfxg:

( 19a) Пусть fx + yg есть множество всех сумм x + y, где x 2 fxg и y 2 fyg. Доказать равенство: inf fx + yg = inf fxg + inf fyg:

Так как из x m , x 2 fxg, и y n , y 2 fyg, следует, что x + y m + n , (x+y) 2 fx+yg, то существование inffxg = m и inffyg = n влечет за собой существование inf fx + yg.

ßñíî, ÷òî x + y m + n.

Далее, для произвольного " > 0 существует такой элемент (x + y) 2 fx + yg, что

m + n x + y < m + n + ";

поскольку существуют такие x 2 fxg и y 2 fyg, что m x < m + "=2 и n y < n + "=2.

Следовательно,

inffx + yg = m + n = inffxg + inffyg:

Пример 7. ( 20a) Пусть fxyg есть множество всех произведений xy, где x 2 fxg и y 2 fyg, причем x 0 и y 0. Доказать равенство:

inffxyg = inffxg inffyg:

Так как из x m , x 2 fxg, x 0, и y n , y 2 fyg, y 0, следует, что xy m n , xy 2 fxyg, то существование inffxg = m и inffyg = n влечет за собой существование inf fxyg.

Ясно, что xy mn. Так как для произвольного " > 0 существуют такие x 2 fxg

такой элемент

mn xy < mn + ";

Следовательно,

inffxyg = mn = inffxg inffyg:

Пример 8. Для множества A = fa : a = 1 n1 ; n 2 Ng найти inf A, sup A.Для всех n 2 N справедлива следующая цепочка рассуждений:

0 < n1 1 ) 1 n1 < 0 ) 0 1 n1 < 1;

3

из которой следует, что 1 верхняя грань множества A, 0 нижняя грань множества A. Так как числу n = 1 соответствует элемент a = 0, то 0 является точной нижней гранью множества A, поскольку в любой сколь угодно малой окрестности 0 обязательно найдется

элемент множества A: a = 0.

Докажем, что 1 наименьшая верхняя грань множества A:

8 " > 0 9 a 2 A : a > 1 ":

Для любого " > 0 выполняется следующее:

a > 1 " , 1 n1 > 1 " , n1 < " , n > 1":

Из принципа Архимеда вытекает, что 9 n 2 N, больший произвольного числа 1=", например, n = [1="] + 1. Этому n согласно равносильности приведенных неравенств соответствует элемент множества A, удовлетворяющий соотношению a > 1 ", что и требовалось доказать.

значит, 0 нижняя грань множества A, 2 верхняя грань множества A. Докажем, что

эти числа являются соответственно наибольшей нижней гранью и наименьшей верхней гранью множества A:

8 " > 0 9 a 2 A : a < 0 + ";

8 " > 0 9 a 2 A : a > 2 ":

справедливо при 4k > 1=" + 1. Для произвольного " > 0 выберем число 4k большее, чем

Åñëè n = 4k, òî cos 2n = cos ( 2k) = 1 è a = 2 4k1+1 . Неравенство 2 4k1+1 > 2 " справедливо при 4k > 1=" 1. Для произвольного " > 0 выберем число 4k большее, чем

1=" 1, например, 4k = 4 [1="]+4. Следовательно, 8 " > 0 9 a = 2 4[1="1]+5 , удовлетворяющее неравенству a > 2 ", т. е. 2 = sup A.

3.3.Задачи для самостоятельной работы

Сформулировать с помощью правила записи отрицания утверждений, содержащих кванторы, определения неограниченного сверху (снизу) множества.

Доказать, что множество A = fa : a = ncos n; n 2 Ng неограниченное.

4

Номера задач даны согласно учебному пособию:

Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: изд-во Моск.ун-та, ЧеРо, 1997. Сборник можно найти здесь èëè здесь.

5