Практика 10. Нахождение пределов последовательностей

Р а с к р ы т и е н е о п р е д е л ¼ н н о с т е й методы вычисления пределов последо-

вательностей (или функций), заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

Здесь 0 бесконечно малая последовательность (величина), 1 бесконечно большая последовательность (величина), 1 последовательность (величина), стремящаяся к единице.

По таким выражениям невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Пример 1. Обосновать формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической

прогрессии.

b + bq + bq2 + : : : + bqn 1 + : : : = 1 b q :

Для суммы n первых членов геометрической прогрессии при q 6= 1 справедливо

Пример 2. Найти пределы следующих последовательностей, используя теоремы о пределах и замечательные пределы

1.Выражение для бщего члена представляет собой неопределенность 11. Делим чис- литель и знаменатель an на член самой быстро растущей последовательности из присутствующих на (n!)2, выделяя замечательные пределы:

1

n!1

3.Сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела, как в предыдущем примере, здесь нельзя, так как предел знаменателя равен нулю, и предел числите-

ля равен нулю. Преобразуем общий член последовательности, чтобы избавиться от неопределенности 0.

4.Выражение для бщего члена представляет собой неопределенность 11. Как и раньше, надо поделить на старшую степень:

5. Заметим, что для этого примера не подойдет только что использованныé çàìå÷à-

1См. практику 8.

2

10.1.Задачи для самостоятельной работы

Найти пределы следующих последовательностей, используя теоремы о пределах и замечательные пределы

Ответы:

3