36.4.Исследование функции и построение ее графика

При исследовании функции y = f(x) и построении ее графика нужно придерживаться следующего плана.

1.Найти область определения функции и исследовать поведение функции в граничных точках области определения.

2.Если область определения симметрична относительно начала координат, проверить выполнение условий

f( x) = f(x) èëè f( x) = f(x):

В первом случае функция ч е т н а я и ее график симметричен относительно оси Oy, во втором н е ч е т н а я и ее график сим-

метричен относительно начала координат. При этом дальше можно исследовать функцию только при x 0, а при построении графика

воспользоваться симметрией. В противном случае функция является функцией общего вида и не обладает симметрией.

3.Выяснить периодичность.

4.Найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности.

5.Проверить наличие асимптоты.

6.С помощью первой производной найти промежутки монотонности функции и экстремумы.

7.С помощью второй производной найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика.

8.Найти точки пересечения графика с осями координат и, если необходимо, дополнительные точки для построения графика.

36.5.Контрольная работа.

Провести полное исследование функций и построить их графики

p

1.y = x 3 (x + 1)2,

2.y = (x + 2)e1=x,

3.y = arccos 11 2xx.

5