Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новгородский Государственный Университет им. Ярослава Мудрого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Захаров М.А

..pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО

Д. А. Филиппов, М. А. Захаров

ЗАДАЧИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД

2010

	2
УДК 530.145(075.8)	Печатается по решению
ББК 22.314я73	РИС НовГУ
Ф53

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор В. М. Петров

доктор физико-математических наук В. А. Абрамовский

Филиппов, Д. А.

Ф53 Задачи по квантовой механике / Д. А. Филиппов, М. А. Захаров; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2010. – 43 с.

Кратко изложены основные положения квантовой механики, приведе- ны примеры решения задач и даны задачи для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов направления 210100 «Электроника и микроэлектроника».

УДК 530.145(075.8) ББК 22.314я73

	3
	СОДЕРЖАНИЕ
Введение.......................................................................................................................		4
Принятые обозначения и постоянные величины.....................................................		5
Тема 1. Волны де-Бойля, соотношения неопределенностей Гейзенберга ............		7
Тема 2.	Волновая функция и ее свойства................................................................	10
Тема 3.	Операторы и их свойства............................................................................	14
Тема 4.	Стационарные состояния............................................................................	19
4.1. Потенциальная яма.........................................................................................		20
4.2. Потенциальный барьер..................................................................................		22
4.3. Гармонический осциллятор...........................................................................		24
Тема 5.	Стационарная теория возмущений ............................................................	37
Список рекомендуемой литературы........................................................................		42

ВВЕДЕНИЕ

Квантовая механика – наука о движении микрочастиц с учетом их кор-

пускулярно-волнового дуализма. Квантовая механика зародилась в начале

XX века благодаря пионерским работам Планка, Бора, Эйнштейна, Шредингера,

Дирака, Фока, Ландау и целого ряда других ученых. Если вначале квантовая механика имела чисто академический интерес и использовалась физиками для объяснения тех явлений, которые не могли быть объяснены с позиций класси-

ческой физики, то по мере развития науки она стала занимать все более и более широкие позиции. Она полностью завоевала спектроскопию, атомную и ядер-

ную физику, составной частью вошла в физику твердого тела, химию и другие области науки. В настоящее время, пожалуй, ни одно явление в физики твердо-

го тела невозможно объяснить, не используя выводов квантовой механики. Од-

нако если в микроэлектронике, наряду с квантовой механикой, для описания многих процессов используются законы классической физики, то наноэлектро-

ника, зародившаяся в конце XX – начале XXI века, полностью основана на квантовомеханических явлениях. Данное учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Электроника и микроэлектроника».

В нем представлены решения типовых задач по основным разделам квантовой механики и даны задачи для самостоятельного решения.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Ψ ( r ,t ) – волновая функция

p – импульс частицы

E – энергия частицы

k – волновой вектор

me = 9.1·10-31 кг – масса электрона

m p = 1.67262·10-27 кг – масса протона

mn = 1.67429·10-27 кг – масса нейтрона

e = 1.6·10-19 Кл – заряд электрона

h= 6.62·10-34 Дж·с – постоянная Планка

h= h / 2π =1.05·10-34 Дж·с – постоянная Планка, деленная на 2π

Операторы обозначаются шляпками над буквами, например, оператор Гамиль-

тона (гамильтониан) –	ˆ
	H .

Таблица

Операторы основных физических величин

Физическая величина

Оператор

Координаты x, y, z

xˆ = x , yˆ

= y, zˆ = z

∂ r

∂

∂ r

Импульс p = px i + p y

j + pz k

= −ih = −ih(

i + j + k )

∂x

∂y

∂z

Момент импульса

L = [r × p]

L=[r×p ]

Проекции момента импульса

= yp

− zp

∂

− z

∂

= −ih y

= zp

− xp

∂z

∂y

= −ih z

∂

L y

− x

= xpy − ypz

∂x

∂z

∂

= −ih

− y

∂y

∂x

Кинетическая энергия

K =

pˆ 2

потенциальная энергия

U ( x, y, z ),

энергия

оператор Гамильтона

E =

p 2

+ U ( x, y, z)

pˆ 2

+ U (x, y, z)

− h

+ U (x, y, z) =

− h

∂ 2

∂2

+ U ( x, y, z)

∂x

∂y

∂z

ТЕМА 1. ВОЛНЫ ДЕ-БРОЙЛЯ, СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Французский физик Луи-де-Бройль в 1924 году выдвинул смелую гипо-

тезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм не является особенностью од-

них только оптических явлений, а имеет универсальное значение. Он предпо-

ложил, что микрочастицы наряду с корпускулярными свойствами обладают также и волновыми свойствами. По гипотезе де-Бройля с каждой частицей, с

одной стороны, связываются корпускулярные характеристики, такие как энер-

гия – E , импульс – p = mv , а с другой стороны, волновые – частота ω и длина волны – λ , причем связь между корпускулярными и волновыми характеристи-

ками точно такая же, как и для фотонов

E = hω ,			r		(1.1)
			p = hk ,
где k – волновой вектор, его величина	r	=	2π	, а направление совпадает с на-

	k

			λ
правлением распространения волны.

Таким образом, любой частице массой m , движущейся со скоростью v ,
сопоставляют волну
r				vr
					(1.2)
Ψ ( r ,t ) = Cei( ω t −kr ) ,
длина которой определяется по формуле
λ = h / mv ,					(1.3)

иполучила название длина волны де-Бройля.

Вклассической механике состояние частицы определяется заданием ее динамических переменных, к которым относятся координаты, энергия, импульс частицы. При этом считается, что указанные переменные можно измерить сколь угодно точно (ограничиваясь погрешностью измерительного прибора),

например, скорость тела в данной точке. Для микрочастицы же нельзя одно-

временно указать точных значений координаты и соответствующей проекции импульса. Если через x обозначить неопределенность x -проекции координа-

ты, а через px − неопределенность x -проекции импульса, то эти неопределен-

ности не являются независимыми, а, как впервые показал Гейзенберг, связаны

между собой соотношением
x px ≥ h ,	(1.4)

т.е. чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределен-

ность другой.

Аналогичные соотношения имеют место и для y и z -проекций, т.е.
y	p y ≥ h ,		(1.5)
z	pz	≥ h ,	(1.6)
а также для энергии и времени
E		t ≥ h .	(1.7)

Следует отметить, что соотношения неопределенностей Гейзенберга не связаны с несовершенством измерительных приборов, а являются следствием корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц.

Примеры решения задач

Задача 1.1

Определите длину волны электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 300 В.

Решение задачи

Для определения длины волны де-Бройля воспользуемся формулой (1.3),

согласно которой λ = h / mev . Скорость движения частицы определим из соот-

	m v	2
	m v
ношения	e		= eU . Отсюда v =			2eU / m .	Подставляя числовые значения,
ношения			= eU . Отсюда v =			2eU / m .	Подставляя числовые значения,
	2					e
	2
получим	v ≈			107	м/c.	Отсюда	длина	волны	де-Бройля
λ = 6.62 10−34 /( 9.1 10−31 107 ) = 0.7 10−10 м.

Ответ: λ = 0.7 A .

Задача 1.2

Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, оцените ми-

нимальную кинетическую энергию электрона в бесконечно глубокой потенци-

альной яме шириной: а) l=1 нм, в) l=1 мкм.

Решение задачи

По условию задачи частица находится в бесконечно глубокой потенци-

альной яме, следовательно неопределенность ее x-проекции координаты мень-

ше ширины ямы, т.е. x < l , тогда из соотношения неопределенностей Гейзен-

берга (1.4) следует, что неопределенность ее x-проекции импульса px ≥ h / l .

Полагая x-проекцию импульса по порядку величины равной неопределенности

его проекции, получим px ≥ h / l , что для энергии частицы E = p2 / 2m дает ми-

нимальное значение Emin = h2 , что с точностью до постоянного множителя

2ml 2

совпадает со значением, полученным из решения уравнения Шредингера.

Подставляя числовые значения, получим:

а) l = 1 нм, Emin = 3,4·10-2 эВ; в) l = 1 мкм, Emin = 3,4·10-8 эВ.

Ответ: а) Emin = 3,4·10-2 эВ; в) Emin = 3,4·10-8 эВ.

Задачи для самостоятельного решения

1.3.Определите длину волны де-Бройля тепловых нейтронов.

1.4.Определите длину волны де-Бройля протона, прошедшего уско-

ряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

1.5. Определите длину волны де-Бройля электрона, движущегося со ско-

ростью, равной скорости движения электрона на первой боровской орбите.

1.6. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, оцените минимальную кинетическую энергию электрона в атоме водорода.

1.7. Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга, оцените минимальную энергию гармонического осциллятора массы m, совершающего колебания с частотой ω.

ТЕМА 2. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

В основу математического аппарата квантовой механики положено ут-

верждение, что состояние частицы полностью описывается определенной

функцией координат и времени, получившей название волновой функции

Ψ(x, y, z, t ) . Волновая функция в общем случае комплексная величина и сама по себе физического смысла не имеет. Физический смысл имеет квадрат модуля

волновой функции	r	, t )	2	r	r	, t ) ,	равный плотности вероятности

	Ψ(r			= Ψ(r	, t )Ψ (r

обнаружить частицу в данной точке пространства, т.е. вероятность dw обнару-

жить частицу в элементе объема d 3r = dxdydz равна:

r	2 d	3r .
dW = Ψ ( r ,t )

Вероятность обнаружить частицу в конечном элементе объема делятся выражением

w(V1, t) = ∫	r		2	3r .
	r		2
	Ψ(r	,t)	d
V1

(2.1)

V1 опре-

(2.2)

Поскольку волновая функция описывает реальные объекты, то она должна удовлетворять определенным, так называемым стандартным, условиям.

Волновая функция должна быть непрерывной, конечной, иметь непрерывную производную и удовлетворять условию нормировки, а именно:

∫	r		2	3r = 1.
	r		2
	Ψ(r	, t)	d		(2.3)

Выражение (2.3) получило название условие нормировки.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.201933.45 Кб3ЗАКРЫТЫЕ ПОВРЕЖДЕНИЯ ГОЛОВЫ, ГРУДИ, ЖИВОТА.docx
#
11.11.201947.79 Кб5ЗАКРЫТЫЕ ПОВРЕЖДЕНИЯ МЯГКИХ ТКАНЕЙ.docx
#
26.03.20151.71 Mб100занималка.pdf
#
26.03.2015287.27 Кб32занятость населения новгородской области.docx
#
11.03.2016129.02 Кб44Зарубежная литература.doc
#
26.03.20151.73 Mб109Захаров М.А..pdf
#
04.08.201968.1 Кб2зачет Эк.пр..doc
#
26.03.201525.09 Кб9Зоология.doc
#
17.11.2018175.62 Кб7Зоопсихология и сравнительная психология 030301....doc
#
26.03.20151.07 Mб41Зубчатые редуктора .pdf
#
26.03.20152.35 Mб9ИВАНОВ А.С. гр. 0041 зу.pdf