Захаров М.А

говорят, что частица находится в однородной прямоугольной потенциальной яме, схематичное изображение которой представлено на рис. 1.

U(x)

U0

Рис. 1. Схематичное изображение одномерной прямоугольной потенциальной ямы

Из решения стационарного уравнения Шредингера (4.1) для бесконечно глубокой потенциальной ямы следует, что энергия частицы принимает не лю-

бые, а дискретные значения, получившие название уровни энергии, значения которых определяются выражением

где n = 1, 2, 3 … – номер уровня;

m – масса частицы;

l – ширина ямы.

Волновая функция, описывающая состояние частицы в бесконечно глу-

бокой потенциальной яме, имеет вид

22

4.2. Потенциальный барьер

Если частица движется в области пространства и потенциальная энергия имеет вид , изображенный на рис. 2, то говорят, что частица на своем пути встречает потенциальный барьер высотой U 0 .

U(x)

U0

X

Рис. 2. Схематичное изображение потенциального барьера

В классической механике если энергия частицы больше высоты барьера

U 0 , то частица всегда окажется в области за барьером, а если меньше U 0 , то частица никогда не может преодолеть этот потенциальный барьер.

В квантовой механике имеет место несколько иная ситуация. В случае если энергия частицы больше высоты барьера, то наряду с вероятностью того,

что частица окажется в области за барьером, имеется отличная от нуля вероят-

ность того, что частица отразится от барьера, т.е. имеет место так называемое надбарьерное отражение.

Если энергия частицы меньше высоты барьера, то наряду с вероятно-

стью того, что частица отразится от барьера, имеется отличная вероятность то-

го, что частица окажется в области за барьером, так называемое подбарьерное прохождение или туннельный эффект.

23

U(x)

U0

E

●

Рис. 3. Схематичное изображение прямоугольного потенциального барьера

Можно показать, что для прямоугольного потенциального барьера вы-

сотой U 0 и шириной l , изображенного на рис. 3, вероятность прохождения час-

тицы через потенциальный барьер определяется выражением

Для барьера произвольной формы эта вероятность определяется выра- жением

где a и b точки, в которых U (x) = E (рис. 4).

U(x)

E

●

a b X

Рис. 4. Схематичное изображение прохождения частицы через потенциальный барьер произвольной формы; a и b точки, в которых U (x) = E

24

4.3. Гармонический осциллятор

Если потенциальная энергия системы имеет минимум в точке x = x0 , то при малом отклонении системы от положения равновесия на нее будет дейст-

вовать «квазиупругая» (почти как упругая) сила, стремящаяся вернуть систему в положение равновесия. Квазиупругой силой называется сила, направление которой противоположно направлению смещения системы из положения рав-

новесия, а ее величина пропорциональна величине отклонения системы из по-

ложения равновесия. Действительно, разложим потенциальную энергию систе-

мы в ряд по величине отклонения с учетом первых двух членов разложения. В

результате разложения имеем

Потенциальная энергия системы, по условию, имеет минимум в точке

x = x0 . Из этого условия следует, что a = 0 , а k > 0 . Кроме того, значение по-

тенциальной энергии в положении равновесия удобно положить равным нулю.

С учетом этого, выражение для потенциальной энергии при отклонении систе-

мы от положения запишется в виде

Сила, возникающая при смещении системы из положения, определяется выражением

Как видно из выражения (4.11), данная сила направлена в сторону, про-

тивоположную смещению системы из положения равновесия, а ее величина пропорциональна смещению, т.е. данная сила является квазиупругой. В качест-

25

ве примера можно указать, что при смещении атомов кристаллической решетки из положения равновесия возникающая сила является квазиупругой.

Для системы координат, начало которой совмещено с положением рав-

новесия, выражение для потенциальной энергии примет вид

В классическом случае, при наличии квазиупругой силы (4.11), система совершает колебания около положении равновесия с круговой частотой

Зависимость величины смещения и скорости смещения от времени да-

ется уравнениями

Как следует из (4.16), в классическом случае энергия системы имеет не-

прерывный спектр и квадратично зависит от амплитуды колебаний. В кванто-

вом случае энергия имеет дискретный спектр собственных значений.

Выражение для потенциальной энергии системы (4.12) с учетом того,

что круговая частота связана с коэффициентом «квазиупругой» силы соотно-

шением (4.13), запишем в виде

27

n=0

Ψ(x/a0)

n=1

x/a0

n=2

Рис. 5. Волновые функции основного (n = 0) и первых двух возбужденных (n = 1, 2) состояний гармонического осциллятора

Примером систем, являющимися гармоническими осцилляторами, яв-

ляются атомы, совершающие малые колебания около положения равновесия в молекулах или твердых телах.

Примеры решения задач

Задача 4.1

Для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме,

найти среднее значение и флуктуацию координаты частицы. При решении за-

дачи воспользоваться волновой функцией (4.6).

Решение задачи

Для нахождения среднего значения координаты частицы воспользуемся общим квантовомеханическим правилом вычисления средних значений физи-

ческих величин

Учитывая, что волновые функции отличны от нуля лишь на промежутке

0 < x < a , найдем

Для нахождения флуктуации координаты введем вначале отклонение координаты от своего среднего значения, т.е.

Таким образом, для вычисления флуктуации координаты частицы необ-

ходимо найти величину

Подставляя в последнее соотношение волновые функции стационарных состояний, получим

Тогда

29

Легко видеть, что с увеличением номера состояния флуктуация коорди-

наты увеличивается, приближаясь к максимальному значению

Задача 4.2

Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний дискретного спектра частицы в поле U ( x ) = −αδ ( x ), для значений параметра

α > 0. Найти средние значения кинетической и потенциальной энергий в этих состояниях.

Решение задачи

Запишем стационарное уравнение Шредингера с учетом явного вида оператора потенциальной энергии

Заметим, что связанные состояния частицы в указанном внешнем поле могут быть лишь при условии E < 0.

Введем обозначение

Общее решение уравнения Шредингера в области − ∞ < x < 0 имеет вид

30

Сдругой стороны, волновая функция должна стремиться к нулю при x → −∞. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы B = 0. Отсюда в об-

ласти − ∞ < x < 0 волновая функция имеет вид

Рассуждая аналогичным образом, нетрудно получить общее решение уравнения Шредингера для области 0 < x < +∞ :

Найденное решение должно стремиться к нулю при x → +∞. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы C = 0. Отсюда в области 0 < x < +∞ волновая функция имеет вид

откуда следует, что A = D.

Теперь исследуем поведение первой производной найденной волновой функции в окрестности x = 0. С этой целью проинтегрируем исходное уравнение

Шредингера по области 0 − ε < x < 0 + ε , ε > 0 , и, устремляя ε → 0, находим

то отсюда следует, что существует только одно состояние дискретного спектра,

которое характеризуется энергией