2012_МА_часть_1_методические рекомендации

Пример 1.

Комментарий. Работа не пустая, уравнение sin x = −0,5 решено верно и в

итоге «почти» верно произведен отбор. Но есть бездумное сокращение на cos x −1 и один из отобранных корней явно находится вне нужного отрезка. Ни пункт а, ни пункт б не выполнены.

Оценка эксперта: 0 баллов.

11

Пример 2.

Комментарий. В представленном решении есть описка: 5x вместо x , но потом все верно. Впрочем, на оценку это не влияет, если нет ошибки.

Если судить только по ответу, то 0 баллов. В пункте а вместо одного есть два целочисленных параметра, в пункте б указана вся серия решений, а не корень из нужного отрезка. Если судить по всему тексту, то ясно, что автор четко придерживался абсолютно верной стратегии, и тут уже похоже на 2 балла.

Но их невозможно выставить из-за двух моментов: при n = −1 верно x = −2π , а не x = −2πn , а в «правой» колонке вместо n следовало бы писать k . И если второй еще можно трактовать как описку, то первый (вынесенный в ответ!) не позволяет сделать вывод об обоснованном отборе корней.

Оценка эксперта: 1 балл.

12

Решение.

13

Пример 3.

Комментарий. Весьма «пограничный» случай. Нет даже отдельно выписанного ответа. С другой стороны, в тексте работы верные ответы получены и ошибок нет. Кроме того, весьма оригинален сам подход к решению, не использующий формул приведения и формул двойного аргумента, а основанный на раскрытии смысла более первичного равенства cosα = cos β . Открытым остается вопрос об «обоснованности» отбора корней.

Сколько можно судить по тексту, после подстановки n = 0,1, 2,3 в формулу и

проверки, что эти значения не подходят, автор остальные подстановки перестал выписывать, а произвел вычисления и (верный!!) отбор в уме или, быть может, на черновике.

Оценка эксперта: 2 балла.

14

Пример 4.

Комментарий. Ответ в пункте б неверен, а отбор по имеющейся из пункта а формуле и неполон, и неверен. Поэтому 2 балла выставить нельзя. Тем не менее, ответ в пункте а верен и этот факт (к сожалению) для некоторых экспертов есть основание для выставления 1 балла. Однако, этот верный ответ получен в результате двойной ошибки («минус на минус – получаем

плюс»): равенство cos(32π + 2x )= −sin 2x неверно и неверно решено уравнение sin x = −12 .

Оценка эксперта: 0 баллов.

15

Пример 5.

Комментарий. В пункте а решение верно и обоснованно, ответ верен, разве что не хватает k Z , n Z , но только за это снизить оценку вряд ли нужно. Так что 1 балл есть.

Ответ в пункте б неверен и ясно, где произошла ошибка: в ответ (из картинки) включен «основной» корень 56π , явно меньший 52π , а следовало

бы включить 56π + 2π =176π . Кроме того, в ответе еще и 52π – лишнее: это

число попало в ответ просто из-за того, что являлось концом заданного отрезка.

Оценка эксперта: 1 балл.

16

17

Пример 6.

Комментарий. Ответ в пункте а неверен: непонятно как, но при делении 360 на 3 получилось не 120, а 135. Так что точно не 2 балла. Но отбор по числовой окружности произведен верно: указана и дуга, и точки на ней и нужные значения аргумента.

Оценка эксперта: 1 балл.

18

§2. Задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности С2. Критерии проверки и оценки решений.

В геометрических заданиях по сравнению с ЕГЭ–2011 произошли, пожалуй, наименьшие изменения. В частности, в заданиях С2 прежними остались и уровень сложности, и тематическая принадлежность (геометрия многогранников), и структура постановки вопроса в задачах, и общий характер оценивания выполнения решений.

Среди особенностей, связанных с непосредственной работой экспертов региональных предметных групп, выделим проблему «обоснованности» решений стереометрических заданий, приводимых в работах участников ЕГЭ–2012.

Не секрет, что ситуация, сложившаяся с преподаванием стереометрии в российских школах крайне тяжелая. Не обсуждая причины такого положения дел, подчеркнем, что восстанавливать нормальное отношение к преподаванию и изучению стереометрии довольно сложно. Разработчики ЕГЭ по математике в 2010–2012 гг. выделяют здесь три основных, по их мнению, момента.

Во-первых, первым необходимым шагом, явилось получение оценки на ЕГЭ как оценки именно по математике, а не только по алгебре и началам математического анализа.

Во-вторых, стереометрическая задача позиционируется как задача для большинства успевающих учеников, а не только для избранных. В связи с этим, в КИМах предлагается достаточно простая задача по стереометрии, решить которую возможно с минимальным количеством геометрических построений и технических вычислений.

В-третьих, подход к оцениванию выполнения заданий С2 существенно «мягче» привычных требований «советских» времен и традиционных математических стандартов получения максимального балла. Достаточными являются верное описание конструкции, изображение, описание, констатация положения искомого угла или расстояния и верно проведенное вычисление.

Отметим, что, в то же время, необходимым условием получения положительного балла является отсутствие в тексте работы неверных утверждений о свойствах и расположении тех или иных геометрических объектов.

Перечисленные шаги уже дали некоторое продвижение в улучшении положения дел со стереометрией. Например, если в 2010 г. ненулевые баллы за выполнение задания С2 получили 11,6% участников, то в 2011 г. таких уже было 14%.

Подчеркнем, что при наличии развернутых и полных обоснований всех конструкций и построений, разумеется, следует выставлять 2 балла. Но те же 2 балла, по мнению разработчиков, следует выставлять и в тех случаях,

19

когда в решении лишь описана и продемонстрирована верная конструкция. Дело в том, что, к сожалению, даже такое условие для нынешней российской школы является весьма ограничительным, и сама постановка вопроса о полной и математически грамотной обоснованности такого построения – вещь экзотическая для многих выпускников (и некоторых учителей). Многие достаточно хорошие выпускники за время своего обучения вполне могли просто отвыкнуть (или не привыкнуть) приводить необходимые доказательства верности своих конструкций: они их «видят» и по школьной своей привычке считают это достаточным.

Отметим часто задаваемый экспертами вопрос, связанный с проверкой решения задач на нахождение угла. Вид (дизайн) ответа вполне может отличаться от приведенного в решениях, присланных федеральной предметной комиссией. Это отличие ни в какой мере не может служить основанием для снижения оценки. Самое главное, чтобы ответ был правильным. Конкретнее, если в «образце» решения, предложенного Федеральной комиссией по математике, в ответе стоит arcsin 0,6 , а у ученика

в ответе стоит 12 arctg 247 , то справедливость равенства arcsin 0,6 = 12 arctg 247

эксперту следует проверить самостоятельно.

Приведем критерии оценивания выполнения заданий С2, которых следует придерживаться ниже в трех частях настоящих учебнометодических рекомендаций.

По сравнению с ЕГЭ–2011 есть одно дополнение: в содержание критерия на 1 балл добавлены слова «… или при правильном ответе решение недостаточно обосновано». Формально, это положение противоречит вышеприведенному тезису о допустимой минимизации обоснований.

Позиция разработчиков КИМ здесь состоит в том, что эти слова относятся не к возможности понижения (за недостаточностью обоснований) оценки с 2 баллов на 1 балл, а к возможности повышения оценки с 0 баллов до 1 балла. Дело в том, что по результатам проверки работ ЕГЭ–2010 и ЕГЭ–2011 устойчиво выделился массив работ, в которых изложение ограничивается лишь верным рисунком, указанием искомого объекта и

20