2012_МА_часть_1_методические рекомендации

§3. Задания с развернутым ответом повышенного уровня сложности С3. Критерии проверки и оценки решений.

Напомним, что по результатам ЕГЭ предыдущего года весь массив работ основного (июньского) потока был разбит на четыре группы выпускников с различным уровнем подготовки

Если задания уровня С1 или С2 по сложности – это задания для всех успевающих по математике выпускников общеобразовательной школы, то, начиная с С3, сложность заданий соответствует уже высокому и повышенному уровням подготовки. Наглядным подтверждением являются следующие данные о результатах выполнения заданий С1–С3 по уровням подготовки.

Тем самым, уровень сложности заданий С3 весьма точно соответствует границе между базовым и повышенным уровнями освоения школьного курса математики. В 2010 и 2011 гг. задание С3 было заданием на решение логарифмического неравенства, в том числе и с переменным основанием логарифма. В 2011 году задание С3 было существенно упрощено по сравнению с 2010 годом и по внешнему виду самого неравенства, и с точки зрения используемой техники решения. Все же, в

31

целом по стране результаты (56,6% – не приступали, 23,9% – 0 баллов, 12,8% – 1 балл, 3% – 2 балла, 3,7% – 3 балла) были не слишком высоки. С целью повышения числа участников, приступающих к выполнению задания С3, в 2012 году было принято решение сделать задание С3, в определенной степени, «двушаговым», и один из «шагов» сделать более простым, приблизить его к уровню среднего хорошиста.

В результате, задание С3 выглядит, как система двух неравенств с одной переменной. Приведем примеры из демоверсии и диагностических работ, проведенных Московским институтом открытого образования в

2011 году.

Не обсуждая каждую из этих задач, отметим, что во всех случаях в системе неравенств одно из неравенств заметно проще другого и, в некоторой степени, почти цитирует неравенства из соответствующих разделов учебников и задачников из УМК, входящих в Федеральный перечень МОиН РФ.

Критерии оценивания выполнения заданий С3 этого типа таковы.

32

Эти критерии напоминают критерии оценивания выполнения задания С1 и носят жестко структурированный характер, практически никак не учитывающий специфику конкретных неравенств. В сравнении с ними, в критериях предыдущего года такой учет конкретики был предложен.

Однако практика работы по таким критериям выявила массу неясностей, связанных с трактовкой понятия «неравенство, являющееся следствием исходного неравенства». Многие ошибочно полагали, что, например, если в работе ученика после lg ab <1 написано lg a + lg b <1, то

это и есть переход от неравенства lg ab <1 к его следствию, что, разумеется, не так вне действия ограничений a > 0, b > 0 .

Критерии для С3 в 2012 году делают процедуру оценивания значительно более ясной и алгоритмичной, они в заметной степени ликвидируют разночтения в выставлении 1 или 2 баллов.

В целом, критерии такого типа удобны для экспертов, но, в то же время, они более суровы. Например, если в каждом из неравенств системы автор решения при в целом верном подходе к решению обоих неравенств допустил (пусть и незначительную) арифметическую ошибку, то его решение следует оценить в 0 баллов.

Основная проблема тут состоит в том, что как только в критериях явно появляются слова об ошибках, описках, вычислительных недочетах и т.п., то на местах они начинают трактоваться некоторыми экспертами во все более и более расширительном смысле. Дело доходит до того, что арифметическая ошибка на первоначальном этапе решения, которая привела к решению (пусть и верному) задачи, отличной от исходной задачи, интерпретируется как незначительный недочет: «…ведь, вообще-то, все верно…».

Перед переходом к конкретным работам необходимо обсудить несколько важных моментов. Во-первых, обратим внимание на то, что

33

зачастую в представленных ниже решениях учеников полностью отсутствуют комментарии-слова и не всегда корректно используются знаки импликаций. Поэтому эксперту необходимо внимательно просмотреть все формулы, и понять, правильна или нет общая логика решения, и без особых причин не снижать баллы за неправильное использования логических знаков.

Во-вторых, слова «Обоснованно получен верный ответ…» в критериях не подразумевают обязательного наличия явно выписанного ответа: его достаточно получить в процессе решения. Ведь сама формулировка задания «Решите систему неравенств» вовсе не предполагает непременного выписывания ответов для каждого неравенства в отдельности.

Наконец, при проверке выполнения заданий С3 на ЕГЭ-2012 следует иметь в виду следующую маловероятную, но, в принципе, возможную ситуацию. Хотя два неравенства системы неравенств практически независимы друг от друга (см. примеры выше), но при выписывании ответа для одного из них кто-то может попробовать учитывать ограничения из другого. Приведем два модельных примера.

Пример 1. Решить систему неравенств 3x < 27,

log2 x < 2.

Решение. 1) 3 x < 27 3 x <3 3 . Так как x > 0 , то 0 < x <3 .

2)log 2 x < 2 0 < x < 2 .

3)Решение системы – интервал (0;2) .

log x < 2,

Пример 2. Решить систему неравенств x 2

3 < 243.

Решение. log 2 x < 2 0 < x < 4 .

Для всех таких x верно, что 3 x <3 4 <3 5 = 243 . Решение системы – интервал (0;4) .

С формальной точки зрения, в обоих случаях, не приведен верный ответ отдельно для показательного неравенства. Со вторым случаем – всё просто: работают критерии на 3 балла. А вот в первом случае, и общий ответ неверен (значит, не более 2 баллов), и в логарифмах есть ошибка (значит, не более 1 балла), и для показательного неравенства отдельного общего ответа нет. Значит ли это, что следует ставить 0 баллов? Нет, ведь в шаге 1 нет ни одной ошибки, и показательное неравенство верно решено с учетом ограничения из логарифмического неравенства. В таких, надеемся, крайне редких, случаях следует выставлять 1 балл.

34

Осталось прокомментировать оценивание решения задание С3 демонстрационного варианта.

x < −1 и x > 2 .

При допустимых значениях переменной получаем: log3 (x2 − x −2)≤1+log3 xx−+12 ,

С учетом области допустимых значений переменной получаем решение

35

Комментарий. Формально видны три пункта решения: решение показательного неравенства, решение логарифмического неравенства, получение решения системы неравенств.

Сравнение двух чисел в решении демонстрационного варианта вынесено в отдельный пункт.

В решениях участников экзамена вряд ли будет особо уделено внимание сравнению чисел.

Если ответ для системы неравенств выписан верно, то не следует предъявлять особых требований к аргументации получения ответа. В этом случае следует ставить полные баллы, а если ответ для системы неравенств выписан неверно, то тогда следует оценивать решения неравенств.

36

Примеры оценивания заданий С3

Пример 1.

Комментарий. В логарифмическом неравенстве – ошибка в первом же

переходе. В показательном – все верно про t =5 x , но нет возврата к x . Более того, при получении итогового ответа также нет возврата к x , то есть

идет пересечение одного множества по x с множеством по t =5 x . Обидно, но даже 1 балл не получается.

Оценка эксперта: 0 баллов.

37

Пример 2.

Комментарий. Оба неравенства системы решены обоснованно и верно. Для обоих неравенств не приведен отдельный ответ, но условие x > 0 явно выписано в начале и явно учтено в конце решения. Ответ верен.

Оценка эксперта: 3 балла.

38

Пример 3.

Комментарий. Во втором неравенстве, которое решалось первым, – все верно. При решении другого неравенства – неправильное «избавление» от квадратов. Ответ неверен: потерян промежуток с концом в нуле.

Оценка эксперта: 1 балл.

39

Пример 4.

Комментарий. По критериям, «обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах»? Да! Но, общий ответ неверен. Ошибка в сравнении

концов промежутков: неверно, что 3 < 5 .

Оценка эксперта: 2 балла.

40