Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новгородский Государственный Университет им. Ярослава Мудрого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод-ка ВМ для ст.зу.Ч.2 к.р. 3,4

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

2.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

функция g(x)cos

n x

является нечѐтной

на промежутке

g(x)sin n x dx

f (x)sin n x dx ,

n 1,2, , так как

g(x)cos nl x является чѐтной на промежутке [ l,l].

Следовательно, ряд Фурье в разложении функции промежутке [0,l] по синусам имеет вид

[ l,l], а

функция

f (x) на

bn sin n x , где bn

f (x)sin n x dx,

n 1,2,

n 1

Пример.

Пусть требуется разложить в ряд Фурье на промежутке

1, если x [0,1],

[0,2)

функцию

f (x)

если x

по косинусам, а функцию

(1,2)

g(x) x 1 по синусам.

Очевидно, что рассматриваемые функции

возрастают

и не-

прерывны на промежутке [0,2) ,

g(0) 0. Следовательно,

сумма ряда Фу-

рье будет совпадать со значениями функции f (x)

на всѐм промежутке

[0,2) , а для функции g(x) на всѐм промежутке, кроме точки x 0 .

f (x)dx = f (x)dx = dx + xdx = 1+

| =

a) Имеем a0

2 .

Для всех n 1,2, получаем

n x

an f (x)cos

dx =

cos

dx +

n x

x cos

dx = (второй интеграл вычисляем интегрированием по частям) =

n x 1

n x

sin

xsin

sin

dx =

sin

2 n

n x

cos

sin

cosn cos

. Следовательно, для

(n )2

всех x [0,2) справедливо разложение

n x

f (x)

sin

cosn cos

cos

n 1 n

(n )

Заметим, что в последнем равенстве удобно суммировать слагаемые

с чѐтными

и нечѐтными номерами отдельно, так как для

n 2k

будет

sin

sin k 0,

cosn 1, cos

cosk ( 1)k , а для

n 2k 1 будет

					41
	n
sin			sin k	cosk ( 1)k 1 , cosn 1,
sin			sin k	cosk ( 1)k 1 , cosn 1,
	2			2
		n
cos		n	cos k		= sin k = 0. С учѐтом сказанного, наше разложение
cos			cos k		= sin k = 0. С учѐтом сказанного, наше разложение
	2			2

примет

вид

1 ( 1)k

( 1)k 1

(2k 1) x

f (x)

cosk x

cos

(k )

k 1

(2k 1)

б) Для функции g(x) x 1 и n 1,2, имеем bn

n x

(x 1)sin

dx =

(интегрируем

n2 cosn

всех x (0,2)

	по частям)					=
2		4		n x 2			2
			sin		\|
n		(n )2		2			n
					0

	2			n x 2		2 2		n x
		(x 1)cos			\|		cos		=

	n			2	0	n 0		2
( 1)n 1 .			Следовательно,					для

разложение функции x 1 в ряд Фурье имеет вид

	2	( 1)n 1		n x
x 1			sin		.
x 1			sin		.
	n 1	n		2

Так как в полученном разложении слагаемые с нечѐтными номерами равны 0, то, положив n 2k , окончательно получим

	2	1
x 1			sin k x .
x 1			sin k x .
	k 1 k

Дифференциальные уравнения первого и второго порядков

Задание 8. В этом задании требуется найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения либо решить задачу Коши. Определим сначала эти понятия.

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется функциональное равенство, связывающее независимую переменную x (a,b) функцию y(x) и еѐ производные y| , y|| , …; порядком дифферен-

циального уравнения называют порядок старшей производной входящей в уравнение.

Общее дифференциальное уравнение порядка n имеет вид

F(x, y, y| , , y(n) ) 0 .

(7)

Определение. Функция y (x) называется решением уравнения (7) на интервале (a,b) , если (x) непрерывна на этом интервале вместе со своими производными до порядка n включительно и для любых x (a,b) выполняется равенство F(x, (x), / (x), , (n) (x)) 0 .

Определение. Функция y (x,C1,C2 , ,Cn ) называется общим решением уравнения (7), если: 1) функция (x,C1,C2 , ,Cn ) является реше-

нием этого уравнения при любых значениях произвольных постоянных C1, ,Cn ; 2) для любого решения y g(x) уравнения (7) существуют чис-

ла C10 , ,Cn0 , для которых g(x) (x,C10 , ,Cn0 ) .

Из этого определения следует, что общее решение уравнения (7) содержит столько произвольных постоянных каков порядок этого уравнения.

Определение. Пусть x0 , y0 , y1, , yn 1 заданные действительные числа. Задачей Коши называют задачу отыскания решения y (x) уравнения

(7), которое удовлетворяет начальным условиям (x								) y	0	, \| (x	) y , ,
							0		0	0	1
(n 1) (x ) y		; числа	x , y	0	, y , , y	n 1	называются начальными данными.
0	n 1		0	0	1	n 1
Далее рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений
первого порядка.
1.	Уравнение вида				f (x)dx g( y)dy 0 называют уравнением с

разделѐнными переменными в форме дифференциалов.

Чтобы найти общее решение необходимо проинтегрировать это уравнение f (x)dx g( y)dy C , где C – произвольная постоянная, а затем разрешить полученное равенство относительно y .

	Пример. Найдѐм общее решение уравнения 2xdx e2 y dy 0. Интег-
рируя это равенство, получим 2xdx e2 y dy C или x2							1 e2 y C	. Раз-
						y : e2 y 2x2	2
решим последнее равенство		относительно				y : e2 y 2x2	2C = 2x2	C ,
								1
где	C 2C , 2 y ln(2x2 C ),		y	1	ln(2x2	C ) – общее решение рас-
где	C 2C , 2 y ln(2x2 C ),		y		ln(2x2	C ) – общее решение рас-
	1	1	2			1
			2
сматриваемого уравнения.
2.	Дифференциальное уравнение вида
			y/ f (x)g( y)					(8)

называют уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания общего решения этого уравнения разделим перемен-

ные: заменим y\| на	dy	, затем, умножив уравнение на dx и поделив на
	dx

f1(x)

		43
g( y) , получим уравнение	dy	f (x)dx или	f (x)dx	dy	0 . Интегри-
g( y) , получим уравнение	g( y)	f (x)dx или	f (x)dx	g( y)	0 . Интегри-
	g( y)			g( y)

руя последнее уравнение, которое является уравнением с разделѐнными

переменными, получим общий интеграл f (x)dx							dy		C .

							g( y)
		Пример. Решить задачу Коши для уравнения y / ex y с начальным
условием y(0) 0 .
		Имеем y/ exey или		dy	exey . Разделив переменные,					получим

				dx
	dy	ex dx	или ex dx e y dy 0. Интегрируя последнее уравнение, полу-

	ey
чим ex dx e y dy C или ex e y C .						Разрешив последнее равенство
относительно y , получим e y				C ex , y ln(C ex ), y ln(C ex ) –
общее решение. Используя				начальное		условие		y(0) 0 ,		получим

0 ln(C 1) , C 1 1, C 2 . Следовательно, функция y ln(2 ex )

является решением рассматриваемой задачи Коши.

Замечание. Часто уравнение с разделяющимися переменными записывют в форме дифференциалов

f1(x)g1( y)dx f2 (x)g2 ( y)dy 0.

(9)

Это уравнение приводится к уравнению с разделѐнными переменными делением на функцию f2 (x)g1( y)dx :

f1(x) dx g2 (x) dy 0 . f2 (x)

Пример. Найти общее решение уравнения с разделяющимися пере-

менными x(1 y2 )dx (1 x2 ) ydy 0.

Разделив данное уравнение на (1 y2 )(1 x2 ) , получим уравнение с

разделѐнными

переменными

xdx

ydy

0 . Интегрируем последнее

1 y2

1 x2

равенство

xdx

ydy

C ,

ln(1 x2 )

ln(1 y2 ) C

или

1 x

ln(1 x2 ) ln(1 y2 ) 2C = ln C , где

C 0 ,

(1 x2 )(1 y2 ) C .

Разре-

шим

последнее

равенство

относительно

y :

1 y2

1 x2

1 – общее решение рассматриваемого уравнения.

1 x2

3.Однородное уравнение.

Определение. Функция f (x, y) называется однородной нулевой

степени, если для любого числа t 0 выполняется равенство f (tx,ty) = f (x, y) . Дифференциальное уравнение вида y| f (x, y) называется однородным, если функция f (x, y) однородна нулевой степени.

Так как в однородном уравнении функция f (x, y) является однород-

		f (x 1, x				y
ной нулевой степени, то f (x, y) =							) = f 1,
ной нулевой степени, то f (x, y) =							) = f 1,
						x
ное уравнение всегда можно привести к виду
	/		y
y					.
y					.
			x
Уравнение (10) заменой z(x)			y	или			y x z
Уравнение (10) заменой z(x)			x	или			y x z
			x

y	y
	=		и однород-
x	x
		(10)

приводится к уравне-

нию с разделяющимися переменными. Действительно, из формулы замены получаем y/ z x z / , а уравнение (10) примет вид z x z / (z) или

z /	(z) z	– уравнение с разделяющимися переменными. Найдя общее
	x

решение z g(x,C) полученного уравнения с разделяющимися перемен-

ными, из формулы замены найдѐм общее решение однородного уравнения

(10) y xz xg(x,C) .

Пример. Найдѐм общее решение уравнения y /

x2 y

После преобразования правой части данного уравнения

видно,

что данное уравнение y /

является одно-

родным.

После замены

y x z , y/ z x z /

получим уравнение с разде-

ляющимися переменными z x z / z

или

z /

. Разделим перемен-

x z

ные:

zdz

zdz 0 .

Интегрируя последнее равенство,

x z

получим

z dz C

или

ln | x | 1 z2 C . Разрешим последнее равен-

ство относительно z : 1 z2 ln | x | C ,

z2 2ln | x | 2C =

2ln | x | C ,

z 2ln | x | C1 . Из формулы замены получаем теперь общее решение исходного уравнения y xz z x2ln | x | C1 .

4. Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

	y/ p(x) y q(x) ,				(11)
где	p(x),q(x) – заданные функции.
	Линейное уравнение (11) приводится к уравнению вида			z / f (x)
следующей заменой y z(x)e p( x)dx ,		где z(x) является новой		искомой
функцией.
	Пример. Решить задачу Коши для уравнения y/ y cosx cos x					с
начальным условием y(0) 1.
	Произведѐм в данном уравнении замену y z(x)e		cos xdx	= z e	sin x		.

Для	новой искомой функции z(x)	получим уравнение		z / e sin x –

z e sin x cosx + z e sin x cosx = cosx . После сокращения второго и третьего

слагаемых в	левой	части	последнего равенства, получим			уравнение
z / e sin x cosx или		z / esin x cosx .		Следовательно, z esin x cos xdx =
esin x C ,	то	есть	общее	решение	данного	уравнения
y z e sin x	esin x C e sin x = 1 C e sin x . Для того, чтобы найти решение

задачи Коши, подставим в общее решение y 1, x 0 и получим 1= 1 + C, C 0 . Из общего решения с C 0 получаем решение задачи Коши y 1.

5. Уравнением Бернулли называют уравнение следующего вида

y\| p(x) y q(x) yk , k 0, k 1.		(12)
Уравнение (11) заменой y z(x)e p( x)dx , приводится к уравнению с
разделяющимися переменными.
	x3
Пример. Найти общее решение уравнения y\| 3x2 y x4e 2
			y .

Это уравнение является уравнением Бернулли. Произведя в этом уравне-

нии замену

y z(x)e ( 3x 2 )dx

= z ex3 ,

y| z| ex3 zex3 3x2 ,

получим

z| ex3 zex3

3x2 3x2 zex3 x4e

z| ex3 =

уравнение

ze 2

или

x4 ex3

, z|

= x4

z – уравнение с разделяющимися переменными. Разде-

dz x4

x4dx ,

x4dx 0 .

лим переменные:

z ,

Интегрируя по-

следнее равенство, получаем dzz x4dx C , 2 z x55 C , z 10x5 C1 ,

				46
z x5	C 2 .			Из формулы замены находим теперь, что y z ex3 =
10		1
ex3 + x5		C	2	– общее решение данного уравнения.
10		1

Линейные дифференциальные уравнения более высокого порядка

Уравнение вида

y(n) a y(n 1)

y(n 2) a

n 1

y f (x) ,

(13)

где a1, a2 , , an – данные действительные числа,

f (x) – данная функция,

называют линейным дифференциальным уравнением порядка n

с посто-

янными коэффициентами. Если в уравнении (13)

f (x) 0 , тогда это урав-

нение называется однородным и имеет вид

y(n) a y(n 1) a

y(n 2)

n 1

y| a

y 0 .

(14)

Рассмотрим функцию

y e x . Подставив эту функцию в уравнение

(14), получим равенство e x n a n 1 a

n 2 a

0 , из ко-

n 1

торого видно, что функцию y e x является решением однородного урав-

нения (14) тогда и только тогда когда число является решением алгебраического уравнения

n a n 1	a	n 2	a	a	n	0 .	(15)
1	2			n 1	n

Уравнение (15) называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнениям (13), (14).

Определение. Система n линейно независимых решений однородного уравнения (14) называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Отметим, что такая система всегда существует и общие решения уравнений (13), (14) определяются фундаментальной системой решений.

Теорема. Пусть функции 1(x),2 (x), ,n (x) образуют фундамен-

тальную систему решений уравнения (14). Тогда: 1) функция y C1 1(x) C2 2 (x) Cn n (x) , где C1,C2 , ,Cn – произвольные по-

стоянные, является общим решением однородного уравнения (14); 2) функция y C1 1(x) C2 2 (x) Cn n (x) (x) , где (x) – частное

решение неоднородного уравнения (13), является общим решением уравнения (13).

Для построения фундаментальной системы решений сначала находятся все корни характеристического уравнения, которые могут быть двух типов: 1) действительные корни кратности k ( k =1,2,…); 2) комплексные корни кратности k ( k =1,2,…). Если действительный корень характери-

стического уравнения кратности k , тогда k функций e x , xe x , , xk 1e x

включаются в фундаментальную систему. Если комплексное числоa bi является корнем кратности k характеристического уравнения, тогда и комплексно сопряжѐнное к нему число a bi также будет корнем характеристического уравнения кратности k (это следует из того, что коэффициенты уравнения (15) являются действительными числами). Этой паре комплексно сопряжѐнных корней соответствует 2 k действительных

решений однородного уравнения (14) вида	eax sin bx,eax cosbx ,
xeax sin bx, xeax cosbx, , xk 1eax sin bx, x k 1eax cosbx ,	которые также вклю-

чаются в фундаментальную систему решений. Так как полином степени n имеет ровно n комплексных корней с учѐтом кратности, то построенная фундаментальная система будет содержать ровно n линейно независимых решений однородного уравнения (14).

Рассмотрим теперь более подробно случай уравнений второго порядка, которые чаще встречаются в приложениях. Уравнения (13),(14) в этом случае имеют вид

		y// by/ cy f (x) ,	y// by/		cy 0 ,			(16)
а характеристическое уравнение является квадратным уравнением
2	b c 0 . Возможны три случая.
	1. Характеристическое уравнение имеет два различных
действительных		корня 1, 2 , то есть дискриминант этого						уравнения
D b2 4c 0 .		В этом случае функции	e 1 x ,e 2 x образуют фундамен-
тальную систему решений, а функция y C e 1 x C						e 2 x	является общим
			1		2
решением однородного уравнения (16).
	Пример. Найдѐм общее решение уравнения y// 5y/						6 y 0.
	Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение
2	5 6 0 ,	которое имеет два различных действительных корня
	2, 3.	Следовательно, y C e 2x	C	e 3x	– общее решение.
1	2	1	2

2. Характеристическое уравнение имеет один действительный корень

кратности 2, то есть дискриминант этого уравнения D b2 4c 0 . В

этом случае функции e x , xe x образуют фундаментальную систему ре-

шений, а функция y C e x C			2	xe x	является общим решением однород-
		1	2
ного уравнения (16).
Пример. Найдѐм общее решение уравнения y// 6 y/						9 y 0.
Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение
2 6 9 0 , которое имеет корень					3 кратности 2.	Следовательно,
y C e3x C	2	xe3x – общее решение.
1	2

3. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряжѐнных

корней

1 a bi, 2

a bi ,

то есть

дискриминант

этого

уравнения

D b2

4c 0 .

этом

случае

действительные

функции

ea x sin bx, ea x cosbx

образуют

фундаментальную систему решений, а

функция

y C ea x sin bx C

ea x cosbx

является общим решением одно-

родного уравнения (16).

Пример. Найдѐм общее решение уравнения y// 4 y/ 13y 0.

Данному

уравнению

соответствует

характеристическое

уравнение

4 13 0,

которое имеет два

комплексно сопряжѐнных корня

16 52

4 6 1

4 6i

2 3i .

Следовательно,

1,2

y C e2x sin 3x C

e2x cos3x – общее решение.

Отыскание общего решения неоднородного уравнения

1.Уравнение со специальной правой частью первого типа.

Теорема. Пусть функция f (x) в правой части неоднородного урав-

нения (13) имеет вид f (x) Pn (x)eax , где Pn (x) – полином степени n. Тогда уравнение (13) имеет частное решение вида (x) Qn (x)xk eax , где Qn (x) – полином степени n с неопределѐнными коэффициентами (эти коэффициенты находят подстановкой функции (x) в уравнение (13)), k–

кратность числа a как корня характеристического уравнения (если a не является корнем этого уравнения, то k = 0).

Пример. Найдѐм общее решение неоднородного уравнения второго порядка y// 4 y/ 3y (2x2 1)e3x .

Это уравнение со специальной правой частью, которая содержит полином второй степени 2x2 1 и a = 3. Характеристическое уравнение

2 4 3 0	имеет два действительных корня		1,	3 . Следова-
		1	2
тельно, y C e x C		e3x – общее решение однородного уравнения, а част-
1	2

ное решение неоднородного уравнения нужно искать в следующем виде(x) (bx2 cx d )xe3x = (bx3 cx2 dx)e3x (в рассматриваемом случае k = 1, так как число a = 3 является корнем характеристического уравнения

кратности 1). Вычислим производные		/ (x) (3bx2 2cx d )e3x	+
(bx3 cx2 dx)3e3x ,	// (x) (6bx 2c)e3x	+ (3bx2 2cx d )3e3x	+
(3bx2 2cx d )3e3x	+ (bx3 cx2 dx)9e3x .	Заменив в данном уравнении

	49
y, y / , y // функциями , / , // и сократив на e3x , получим равенство двух
полиномов 6bx 2c	+ (3bx2 2cx d )3 +	(3bx2 2cx d )3 +

(bx3 cx2 dx)9 – 4(3bx2 2cx d ) – 4(bx3 cx2 dx)3 + 3(bx3 cx2 dx) =

2x2 1. Приведя в последнем равенстве подобные члены, получим (6b 8c)x2 (6b 4c)x 2c 2d 2x2 1. Для определения коэффициен-

тов b,c,d приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x, и получаем систему трѐх линейных уравнений с тремя неизвестными

		6b 2,
		6b 4c	0,
		6b 4c	0,

	2c 2d 1,
из которой находим b 1	,c	1 , d 0	. Следовательно, частное решение
3		2
неоднородного уравнения (x) (1 x3			1 x2 )e3x	,	а общее решение рас-
		3	2
сматриваемого уравнения	y C e x C		e3x (1 x3		1 x2 )e3x .
	1	2	3		2
Пример. Найдѐм общее решение уравнения y//						4 y/ 4 y e2x .
Характеристическое уравнение 2 4 4 0 имеет								действительный ко-
рень 2 кратности 2. Следовательно, y C e2x					C		2	xe2x – общее ре–
			1				2

шение однородного уравнения, а частное решение неоднородного уравнения нужно искать в виде (x) Ax2e2x (в этом случае k = 2, так как число a = 2 является корнем характеристического уравнения кратности 2). Имеем

/ (x) 2Axe2x 2Ax2e2x , // (x) 2Ae2x 4Axe2x 4Axe2x 4Ax2e2x .

Подставив , / , // в уравнение, и сократив на e2x , получим равенство 2A 4Ax 4Ax 4Ax2 – 8Ax 8Ax2 4Ax2 1 или, после привидения подобных членов, 2A = 1, A 12 . Следовательно, частное решение неодно-

родного уравнения (x) 12 x2e2x , а общее решение рассматриваемого неоднородного уравнения y C1e2x C2 xe2x 12 x2e2x .

2.Уравнение со специальной правой частью второго типа.

Теорема. Пусть функция f (x) в правой части неоднородного урав–

нения (13) имеет вид	f (x) P	(x)cosbx Q	(x)sin bx eax , где
	n	m

Pn (x),Qm (x) – полиномы степени n и m соответственно. Тогда уравнение (13) имеет частное решение вида (x) M p (x)cosbx N p (x)sin bx xk eax , где M p (x), N p (x) – полиномы степени p max{n,m} с неопределѐнными коэффициентами (эти коэффициенты находят подстановкой функции (x)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2019193.54 Кб4метод рекомендации курсовой мат методы.doc
#
01.07.2025388.61 Кб0метод рекомендации курсовая работа механики.doc
#
26.03.201536.46 Кб59Метод рекомендации по группам риска.docx
#
23.11.201934.64 Кб8Метод рекомендации по группам риска.docx
#
01.07.2025274.31 Кб1Метод указания к контрольной работе по ОК для заочной формы обучения.docx
#
26.03.20152.75 Mб14Метод-ка ВМ для ст.зу.Ч.2 к.р. 3,4..pdf
#
01.05.20254.19 Mб6Метод. для КП. по МРС.doc
#
26.03.201534 Кб5Метод. рекомендации к диплому 2(2).docx
#
01.05.2025829.95 Кб1Метод. указания Управление производительностью...doc
#
17.12.201874.75 Кб8Метод.реком. к написанию реферата.doc
#
01.07.2025124.42 Кб3метод.ук. по скотоводству для заочной формы обу...doc