будет увеличиваться β& , будет возрастать и гироскопический момент MгZн , а значит, будет возрастать ускорение α&& и, как следствие, и скорость вращения гироскопа α& , вследствии чего будет увеличиваться и гироскопический момент МгY. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока МгY не станет равным МY. В момент равенства нулю разности моментов МY и МгY увеличение скорости β& прекращается.

Однако постоянной скорости β& будет соответствовать постоянный MгZн, а, следовательно, конечное ускорение α&& и увеличивающаяся скорость α& и возрастающий гироскопический момент МгY. Теперь он станет большим МY, величина скорости β& начнет уменьшаться и движение гиро-

скопа вокруг оси ОYр будет замедляться.

В результате этого в некоторый момент времени движение гироскопа вокруг оси OYр сначала прекращается, а потом начинается его движение вокруг оси ОYр в обратном направлении в силу MгY > MY. Гироскопический момент MгZн изменит свое направление. Рост скорости α& прекратится, гироскопический момент МгY начнет уменьшаться и т.д.

Таким образом, сразу же после приложения момента внешних сил МY по оси внутренней рамки возникает колебательное движение главной оси

гироскопа вокруг осей ОYр и ОZн со скоростями β& и α& , называемое нута-

ционным.

Нутационные колебания происходят с большой частотой и малой амплитудой и при решении основных технических задач не учитываются.

Возникшие нутационные колебания достаточно быстро затухают из-за трения в подшипниках по осям подвеса, а также из-за трения о воздух и остается только прецессионное движение главной оси гироскопа ωпZн=MY/Hcosβ , рассмотренное ранее.

1.4. Уравнения движения трехстепенного гироскопа в кардановом подвесе

Рассмотрим движение трехстепенного гироскопа под действием моментов внешних сил МZн и МY с учетом инерции элементов карданова подвеса гироскопа. Положим при этом для общности, что гироскоп движется

со скоростями α& и β& , в соответствии со знаками приложенных моментов

и что эти скорости не постоянны, т.е. имеют место ускорения, как показано на рис. 9. Будем считать систему координат ОХ0Y0Z0, связанную с основанием, неподвижной в абсолютном пространстве.

16

ωz0

ωy0

υ

z

Рис. 9

Положение гироскопа относительно неподвижной системы координат ОХ0Y0Z0 в каждый момент времени определяется углами α и β. Скорости и

ускорения движения гироскопа соответственно равны: α& и α&& ; β& и β&&.

Вывод уравнений движения гироскопа проводится при соблюдении условий

β& <<Ω и α& <<Ω.

Рассмотрим сначала схему моментов, действующих, например, по оси ОYр. Очевидно, что, во-первых здесь действует в отрицательном направ-

лении момент инерционных сил MисY=IY β&&, где IY – момент инерции гиро-

узла (внутренней рамы и ротора) относительно оси ОYр. Во-вторых, вокруг оси ОYр действует в отрицательном направлении гироскопический

момент MгY=H α& sin(H^α)=H α& cosβ.

Аналогично относительно оси ОZн действует в отрицательном направлении момент инерционных сил сопротивления MиZн = IZ α&& , а также гиро-

скопический момент MгZн = Hβ& cosβ, направленный в положительном

направлении оси ОZ0. Здесь IZ – момент инерции всех элементов подвеса (наружной, внутренней рам и ротора) относительно оси ОZн.

Направления гироскопических моментов определяем в соответствии со сформулированным ранее правилом.

17

Приближенные упрощенные уравнения равновесия моментов по осям подвеса OZн и OYр:

Поясним физическое содержание полученных уравнений. Здесь в каждом случае момент внешних сил преодолевает момент сил инерции и гироскопический момент. Знак "минус" в первом уравнении по-прежнему означает, что положительный момент внешних сил вызывает отрицательную скорость прецессии. Отсюда при подстановке в первое уравнение скорости прецессии, обусловленной внешним моментом, получим противодействующий внешнему моменту гироскопический момент. Таким образом, сформулированное ранее свойство триединства и здесь не нарушается. Уравнения (1) и (2) нелинейные, так как IZ≠const и cosβ≠const, и найти их точное решение невозможно.

Для упрощения анализа движения главной оси гироскопа предположим, что β мал, т.е. cosβ=1. Положим также IY=const и IZ=const. Тогда, при условии MZн=0 и MY=0, свободное движение главной оси гироскопа определяется системой уравнений:

(1.2) получим дифференциальное уравнение движения главной оси вокруг оси Zн

Аналогично может быть найдено дифференциальное уравнение, определяющее свободное движение главной оси гироскопа вокруг оси Y его рамки.

Обозначим собственную частоту колебаний гироскопа через ν и уравнение (1.3) в канонической форме:

18

Аналогично движение главной оси гироскопа вокруг оси его внутренней рамки определяется уравнением β = A2 + B2 cos(νt +ϕ2 ) .

Окончательно свободное движение главной оси гироскопа вокруг двух взаимно перпендикулярных осей имеет вид

α = A1 + B1 cos(νt +ϕ1) , β = A2 + B2 cos(νt +ϕ2 ) .

Коэффициенты A1, A2, B1, B2 зависят от начальных условий. Учитывая,

Из системы уравнений (1.5) следует, что свободное движение главной оси гироскопа колебательное. В силу B1≠B2 конец главной оси описывает в пространстве эллипс, назаваемый апексом. Эти колебательные движения главной оси гироскопа называются нутацией. Физический смысл этих ко-

лебаний объяснен ранее. Частота нутационных колебаний ν = H / IY IZ очень высока. В самом деле, если положим , что экваториальные моменты

IY=IZ равны моменту инерции ротора, т.е. IY=IZ=I, то ν = IΩ/ I 2 = Ω и частота нутационных колебаний очень высока. Чем выше частота нутационных колебаний, тем меньше их амплитуда.

Таким образом, под действием импульса возмущающего момента (толчки, неравномерность трения в подшипниках) главная ось гироскопа колеблется с очень высокой частотой и очень малой амплитудой. В силу последнего ими часто пренебрегают на практике.

К сожалению, это пренебрежение не всегда оправдано. Так, частота нутаций может совпадать с собственными частотами колебаний конструктивных элементов гироскопа, тогда возможно появление ощутимых уходов оси гироскопа от исходного положения.

Нутационные движения сильно затухают из–за трения в подшипниках, сопротивления воздуха и других сил рассеивания.

Если пренебречь нутационными движениями главной оси гироскопа, что связано с пренебрежением инерционными членами в уравнениях (1) и (2), то получим усеченные уравнения движения гироскопа, в основном, и используемые в технике:

19