боду вращения относительно основания – вокруг трех осей: оси ОХр, оси ОYр вместе с внутренней рамкой и вокруг оси OZн вместе с внутренней и наружной рамками (трехстепенной). Во-вторых, при любых движениях основания к гироскопу не прикладываются моменты внешних сил (свободный); и в третьих, его центр масс совпадает с неподвижной точкой О подвеса (астатический).

1.3. Понятия прецессии и гироскопического момента

Для выяснения сущности этих понятий положим, что к рассмотреному выше трехстепенному гироскопу приложен момент внешних сил. Пусть это сделано подвешиванием к внутренней рамке прибора груза массой m, как показано на рис. 5.

бора горизонтальна.

Если бы ротор не вращался ( Ω = 0 ), то как известно, под действием момента МY, гироузел, состоящий из ротора и внутренней рамки, начал бы двигаться вокруг оси ОY с угловым ускорением εy=My/Iy, где Iy – момент инерции гироузла относительно оси ОYр.

В рассматриваемом же случае, когда Ω≠0, этого не произойдет. Под действием МY начнется движение ротора не вокруг оси ОYр, а вокруг оси ОZн.

10

Это следует из упомянутых выше законов механики применительно к вращающемуся телу. В самом деле, в соответствии со вторым законом Ньютона воздействие МY за время t приводит к изменению момента ко-

Таким образом, вращающийся ротор под действием момента внешних сил ведет себя не как неподвижный ротор под действием того же момента:

-он поворачивается не вокруг оси приложения момента, а вокруг оси, перпендикулярной оси приложения момента внешних сил;

-поворот главной оси ротора происходит не с ускорением ε=MY/IY, а со скоростью ωПZн= α& =MY/H.

Как видно, это особое движение. По этой причине оно и получило особое название – прецессия.

Прецессионное движение практически безынерционно. Оно определя-

ется вектором угловой скорости, величина которой равна ωп = M вн / H ,

где M вн – момент внешних сил, перпендикулярный вектору H . Направ-

ление вектора ωп определяется простым правилом: направление ωп видится таким, чтобы положительный (против часовой стрелки) поворот от

H к M вн осуществлялся по кратчайшему пути.

Примеры определения направления вектора угловой скорости прецес-

прецессии вокруг оси Yр отрицателен при положительности вектора момента внешних сил, его вызывающего.

Тот факт, что под действием момента внешних сил вращающийся ротор прецессирует, а не поворачивается в направлении момента внешних сил, дает основание полагать, что момент внешних сил компенсируется некоторым моментом, встречным моменту внешних сил, равным ему по

11

величине и являющимся следствием прецессии. Последнее подтверждается известным экспериментальным фактом: если остановить прецессию, т.е. на пути движения ротора поставить механический стопор, то ротор будет поворачиваться в направлении действия момента внешних сил.

Mгy

Mгz

Рис. 6

Как известно, участие твердого тела одновременно в двух вращательных движениях: прецессионном вокруг экваториальной оси и вращательном вокруг главной оси – приводит к возникновению кориолисовых сил инерции. Их воздействие на материальные точки ротора, обладающие конечной массой, вызывает появление момента инерционных сил, называемого гироскопическим. Гироскопический момент, будучи следствием прецессии вращающегося ротора, порождаемой, в свою очередь, моментом внешних сил, является, в соответствии с третьим законом Ньютона, моментом противодействия.

Величины гироскопических моментов находятся формально из соотношений, определяющих угловые скорости прецессии, следующим образом:

Mry= Hωпzн; Mrzн= –Hωпy.

Направление вектора гироскопического момента известно из следующего простого правила: направление вектора гироскопического момента является таким, откуда видится, что положительный (против часовой

стрелки) переход от вектора H к вектору ωп кажется происходящим по кратчайшему пути.

Примеры определения направления вектора гироскопического момента Мг, отмеченные двойными стрелками, иллюстрируется рис. 6.

12

Проведенный анализ приводит к интересному заключению. В случае вращающегося ротора, подвергающегося воздействию моментов внешних сил, возникает неразрывное триединство физических величин: "момент внешних сил – прецессия – гироскопический момент". Это триединство неразрывно. Оно состоит в том, что момент внешних сил вызывает прецессию; прецессия, в свою очередь, обуславливает гироскопический момент, компенсирующий момент внешних сил.

Рис. 7

Рассмотренные ранее процессы соотнесены к частному случаю ортого-

нальности вектора H плоскости YнOZн. В случае, когда внутренняя рамка поворачивается относительно наружной вокруг оси ОYр, возможна неперпендикулярность главной оси гироскопа плоскости YнOZн наружной рамки (угол β≠0, как показано на рис.7, а). Для определения прецессии гироскопа в этом случае положим, что на гироскоп по-прежнему действуют моменты внешних сил МY и МZн, но система координат ХрYрZр отклонена от системы координат Х0Y0Z0 на углы α и β соответственно (рис.7, а).

Рассмотрим сначала прецессионное движение главной оси гироскопа

под действием момента внешних сил M Y , (рис.7, б).

Гироскоп здесь опять-таки прецессирует в сторону совмещения H с

M Y по кратчайшему пути в направлении стрелки 1. При этом движение гироскопа происходит не вокруг оси ОZр, перпендикулярной плоскости

13

HOM Y , а вокруг оси наружной рамки ОZн, составляющей с плоскостью

HOM Y угол, отличный от прямого. Прецессия гироскопа происходит с

угловой скоростью ωпZн, вектор которой положителен. В дальнейшем принято считать, что вектор положителен, если он сонаправлен с направлением некоторой выбранной оси и наоборот. Это движение, в соответствии с упомянутым свойством триедиенства, приводит к появлению гироскопического момента МгY, направленного встречно моменту внешних сил. Поскольку величина гироскопического момента, как результат векторного

произведения, MгY = HωпZн sin(H ^ ωпZн )= HωпZн sin(90°+β)= HωпZн cosβ , то можно записать MY=MгY = Hωпzнcosβ.

Отсюда, при β≠0, скорость прецессии вокруг оси ОZн при положительном моменте внешних сил МY составит ωпzн=MY/Hcosβ.

Аналогичные рассуждения справедливы и для случая приложения положительного момента внешних сил относительно оси наружной рамки

M Zн , (рис.7, в). Под действием момента M Zн гироскоп прецессирует во-

круг оси ОYр в направлении стрелки 2 с угловой скоростью ωпY . При этом возникает гироскопический момент МгZр, направленный по оси внутренней рамки ОZр и равный

Ось гироузла ОZр не совпадает с осью наружной рамки гироскопа, что

обуславливает, тем самым, несовпадение моментов M Zн и M гZр . Отсюда

действие момента внешних сил должно компенсироваться проекцией гироскопического момента на ось наружной рамки, т.е.

M Zн = MгZр cosβ = HωпY cosβ .

Тем самым угловая скорость прецессии вокруг оси наружной рамки при положительном моменте внешних сил M Zн будет отрицательной и равной ωпY = −MZн / H cosβ. При этом гироскопический момент, дейст-

вующий по оси наружной рамки, MгZр= –Hωпycosβ.

Анализ прецессионного движения гироскопа при β≠0 показывает, что при одном и том же моменте внешних сил с увеличением β для создания соответствующего гироскопического момента гироскоп прецессирует с бóльшей скоростью. Ограничение скорости прецессии трением в подшипниках, а также аэродинамическим трением гироузла о воздух приводит, в конечном итоге, к уменьшению гироскопического момента при бóльших β, по сравнению с моментом внешних сил.

Ранее отмечалась практическая безынерционность прецессионного движения. Теоретически, а при более пристальном внимании и практиче-

14