Для возмущающего воздействия перечень передаточных функций анало-

сток прямой цепи системы до точки приложения возмущения при использова- нии соотношения (3.1) войдет в состав обратной связи для данного входного сигнала. В результате для рис. 11 получим:

Φxf ( p) = −Φ f ( p). Это соотношение также носит универсальный характер.

Враспространенном на практике частном случае единичной ООС неко- торые из полученных соотношений существенно упрощаются. Если передаточ- ная функция разомкнутой системы получена в форме отношения двух полино-

мов W ( p) = QR(( pp)) , то при Wос(p)=1 нетрудно придти к следующим правилам определения передаточных функций по задающему воздействию:

Лекция 4. Основные положения теории устойчивости. Алгебраические методы анализа устойчивости линейных систем управления

Для линейных стационарных систем используется понятие асимптотиче- ской устойчивости. Систему называют устойчивой, если с течением времени переходная составляющая процесса в системе (общее решение дифференци- ального уравнения системы) стремится к нулю.

Если получено общее дифференциальное уравнение линейной стацио-

нарной системы

14

переходная составляющая процесса в системе определяется как решение соот-

ветствующего однородного уравнения

Для устойчивости системы lim yп (t) = 0 необходимо и достаточно, что- t→∞

бы корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости ком- плексной плоскости:

Если имеется один или несколько вещественных корней, равных нулю, а остальные удовлетворяют условию (4.1), система находится на апериодической границе устойчивости.

Если имеется пара мнимых корней, а остальные удовлетворяют условию (4.1), система находится на колебательной границе устойчивости.

При использовании аппарата передаточных функций левая часть диффе-

ренциального уравнения системы соответствует знаменателю передаточной

Условие (4.1) неудобно для практического использования, так как задача определения корней характеристического полинома для системы высокого по- рядка может оказаться весьма трудоемкой.

Анализ устойчивости выполняется на основе системы условий и критери- ев, часть из которых обеспечивает также оценку качества системы управления и решение задач синтеза.

Необходимое условие устойчивости состоит в положительности всех ко- эффициентов характеристического полинома: ai > 0, i = 01, ,...n. Это условие

15

является необходимым и достаточным для систем первого и второго порядка.

Для устойчивости систем более высокого порядка выполнения этого условия недостаточно. В случае выполнения (4.1) анализ их устойчивости должен быть продолжен на основе одного из достаточных условий (критериев) устойчиво- сти.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица предусматривает анализ матрицы, составленной их коэффициентов характеристического полинома:

0 0 0 ... an

Для устойчивости системы достаточно, чтобы были положительны n оп- ределителей Гурвица:

Первый определитель положителен, если выполнено необходимое усло- вие устойчивости. Раскрывая n-й определитель по последнему столбцу, легко

коэффициента an является признаком апериодической границы. Равенство ну- лю n-1 является признаком колебательной границы устойчивости.

Критерий Гурвица сводится к проверке неравенств, получаемых из (4.2) с учетом порядка системы. Критерий прост и удобен для компьютерной реализа- ции, однако возможности его использования для оценки качества систем и для решения задач синтеза ограничены.

Лекция 5. Частотные методы анализа устойчивости систем управления

Наиболее широкие возможности анализа и синтеза систем предоставляют частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Критерий Михайлова предусматривает работу с характеристическим по-

линомом замкнутой системы

D(p) = a0 pn + a1 pn−1+K+an−1 p + an .

16

После подстановки p=jω получим так называемый характеристический

Каждый сомножитель выражения (5.1) представляет собой комплексную функцию частоты, причем ψ(ω) = ψ1(ω) + ψ2(ω)+...+ψn (ω).

Если рассматривать годографы характеристического комплекса и отдель- ных сомножителей, нетрудно сделать следующие выводы:

- при изменении частоты от 0 до ∞ полный угол поворота изображающе- го вектора для D( jω) равен сумме углов поворота изображающих векторов для отдельных сомножителей;

-для отрицательного вещественного корня угол поворота изображающе- го вектора составит π 2 ;

-для положительного вещественного корня угол поворота изображающе- го вектора составит − π 2 ;

-для пары комплексно-сопряженных корней c отрицательной веществен- ной частью угол поворота изображающего вектора составит π;

-для пары комплексно-сопряженных корней c положительной вещест-

венной частью угол поворота изображающего вектора составит -π; - для нулевых корней и пар мнимых корней углы поворота изображающе-

го вектора будут равны нулю.

Следовательно, для устойчивой системы при изменении частоты от 0 до ∞ полный угол поворота изображающего вектора D( jω) на комплексной

плоскости составит n π 2 . В этом и состоит достаточное условие замкнутой

системы в соответствии с критерием Михайлова. Годограф D( jω) называется

кривой Михайлова. Отметим, что для применения критерия может не потребо- ваться трудоемкое построение кривой Михайлова на комплексной плоскости.

После раскрытия скобок в выражении D( jω) оно приводится к виду:

D( jω) = an + jan−1ω − an− 2ω2 − an−3 jω3+...

а критерий приводится к условию:

0 < ω1 < ω2 < ...< ωn ,

где 0, ω2, ω4,... - корни уравнения

17

Колебательная граница устойчивости имеет место при одновременном выполнении X(ω) = 0 и Y(ω) = 0 на некоторой частоте ω0 , которая и явля-

ется частотой незатухающих колебаний в системе.

Критерий Михайлова дает удобный способ выбора значений параметров системы, обеспечивающих ее устойчивость, - построение области устойчивости в пространстве параметров системы.

Границы области устойчивости соответствуют границам устойчивости системы. При построении области устойчивости на основе критерия Михайло- ва, помимо апериодической и колебательной границ, рассматривается еще один предельный случай: a0=0.

Пусть требуется построить область устойчивости в m-мерном простран- стве параметров системы В=(b1,b2,...bm). Все коэффициенты характеристиче- ского полинома выражаются через параметры, а составляющие характеристи- ческого комплекса становятся функциями многих аргументов:

X = X(ω,b1,b2 ,...bm), Y = Y(ω,b1,b2 ,...bm).

Условия an (b1,b2 ,...bm) = 0 и a0(b1,b2 ,...bm) = 0 дают уравнения

границ области устойчивости как гиперплоскостей в m-мерном пространстве.

Колебательная граница устойчивости имеет место при одновременном выполнении X(ω,b1,b2 ,...bm) = 0 и Y(ω,b1,b2 ,...bm) = 0. Эти равенства

дают уравнения границы устойчивости как поверхности в m-мерном простран- стве, заданные в параметрической форме.

Наиболее распространенный на практике случай - построение области устойчивости в плоскости двух параметров.

Критерий Найквиста предусматривает анализ устойчивости замкнутой

терий Найквиста наиболее широко используется на практике по следующим причинам:

-передаточная функция и частотные характеристики для разомкнутой системы могут быть получены проще, чем для замкнутой;

-помимо анализа устойчивости обеспечивается определение ряда показа- телей качества системы;

-для анализа устойчивости и качества системы в принципе не требуется математическая модель, так как критерий допускает работу с экспериментально полученными частотными характеристиками;

-критерий Найквиста положен в основу достаточно простых и удобных процедур синтеза систем;

18

- “классический” вариант критерия разработан для случая единичной от- рицательной обратной связи, но легко распространяется и на общий случай.

Критерий Найквиста проще всего может быть получен как следствие критерия Михайлова.

Отметим следующие обстоятельства:

1. Для системы с единичной отрицательной обратной связью имеет место следующее соотношение:

Следовательно, полный угол Ψ поворота вектора 1+ W( jω) вокруг на- чала координат (или вектора W( jω) вокруг точки (-1,0) на комплексной плос- кости) равен разности углов Ψ1 поворота вектора D( jω) и Ψ2 поворота векто- ра Q( jω).

2.Для устойчивой системы при изменении частоты от -∞ до ∞ полный угол поворота вектора D( jω) на комплексной плоскости составит nπ.

3.Полный угол поворота вектора Q( jω), соответствующего знаменате-

лю передаточной функции разомкнутой системы, изменении частоты от -∞ до ∞ составит nπ-2lπ, где l - количество корней знаменателя передаточной функ- ции разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Следовательно, для устойчивости замкнутой системы достаточно, чтобы при изменении частоты от -∞ до ∞ вектор W( jω) поворачивался относи-

тельно точки (-1,0) на комплексной плоскости на угол величиной 2lπ в положи- тельном направлении, то есть против часовой стрелки, где l - количество кор- ней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в пра- вой полуплоскости. В этом и состоит основная формулировка критерия устой- чивости Найквиста.

Очевидно, в случае устойчивости разомкнутой системы l=0, и такой угол поворота должен быть равен нулю - годограф W( jω) не должен охватывать

точку (-1,0).

Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, использу- ется формальный прием, позволяющий отнести соответствующие корни знаме- нателя к левой полуплоскости. Поскольку на частотах, соответствующих нуле- вым и мнимым корням Q( jω), годограф W( jω) уходит в бесконечность и

претерпевает разрывы, он дополняется на этих частотах дугами бесконечного радиуса. Это эквивалентно добавлению к величине нулевых и мнимых корней бесконечно малой отрицательной вещественной части. С учетом таких допол- нений критерий применяется в сформулированном выше виде.

19

На рис. 12-14 представлены примеры систем со следующими передаточ- ными функциями:

20