Из этой таблицы видно, что число различных двоичных наборов длины n x1, x2 ,..., xn

конечно и равно 2n .

Ясно, что тавтологии и тождественно ложные функции алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы выражают одну и ту же функцию. Каждая функция определяется таблицей истинности, состоящей из 2n строк, то есть

принимает 2n значений (каждое 0 или 1). Общее число наборов из 0 и 1 длины 2n равно 22n Это число равно числу различных функций алгебры логики n переменных.

Каждой формуле алгебры логики соответствует своя функция. Если формулы A и B эквивалентны, то соответствующие им функции равны: f A (x1 , x2 ,..., xn ) = fB (x1, x2 ,..., xn ). Это

значит, что при всех значениях переменных x1, x2 ,..., xn значения f A и fB совпадают.

Каждая булева функция может быть путем эквивалентных преобразований приведена к двум особым формам, которые называются дизъюнктивной и конъюнктивной

где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных x1 , x2 ,..., xm или

где символ Õ означает, что конъюнкции берутся по тем наборам переменных, которые

указаны под ним. Нормальные формы позволяют дать критерий равносильности двух произвольных формул A и B .

Аппарат булевых функций используется для проектирования цифровых устройств и базовых элементов компьютерных систем.

1.13.2. Элементы теории множеств. Первичным понятием теории множеств является понятие самого множества. Множество – это совокупность некоторых (произвольных) объектов, объединенных по какому-либо признаку. Элементы множества при этом должны быть различными. Множество обозначается парой скобок {...}, внутри которых либо просто

35

можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера - Венна . Если за некоторое универсальное множество, содержащее как подмножества все другие множества, обозначить U (или Ω ) и изобразить его в виде всей плоскости, то любое множество A U можно изобразить в виде части плоскости, то есть в виде некоторой фигуры, лежащей на плоскости. Множество C объединение множеств A и B , C на рис. 1.7 заштриховано. C = A B .

U U

A B A B

Рис. 1.8

Пересечением (или произведением) двух множеств называется такое множество C , которое состоит из элементов, принадлежащим одновременно обоим множествам, то есть C = A Ç B = {x ÎC(x Î A)Ù (x Î B)}. Пересечение множеств A и B заштриховано и изображено на рис. 1.8.

Разностью двух множеств A и B называется множество A \ B , состоящее из тех и только тех элементов, которые входят в A и одновременно не входят в B , то есть

элементов (a, b) называют упорядоченной парой, причем пары (a1, b1 ) и (a2 , b2 ) равны тогда

Леонард Эйлер (1707 - 1783) - швейцарский математик.

Джон Венн (1834 - 1923) - английский математик и логик.

36

если A = B. Произведение A × A называется декартовым квадратом.

Свойства операций объединения, пересечения и дополнения иногда называются законами алгебры множеств. Эти законы аналогичны правилам для равносильностей в булевой алгебре (1.13.1) –(1.13.3).

Часто элементы разных множеств связаны различными соотношениями, например,

соотношениями порядка. n -местным отношением или n -местным предикатом P на множествах A1, A2 ,..., An называется любое подмножество декартова произведения

A1 ´ A2 ´...´ An . Обозначение n -местного отношения P(x1 , x2 ,...,xn ). При n = 1 отношение P называется унарным и является подмножеством множества A1 . Бинарным (или двуместным при n = 2 ) отношением называется множество упорядоченных пар. Элементы x1,x2 ,..., xn

называются координатами или компонентами отношения P .

В теории множеств важную роль играют два вида специальных бинарных отношений:

отношения эквивалентности и отношения порядка. Прообразами этих отношений служат

qP−1 = P T , где P−1 - матрица обратного отношения P−1 ;

37

определяется таким образом x < y Û x £ y и x ¹ y . Это отношение не является частичным порядком, так как не удовлетворяет условию рефлексивности x < x .

38

Тогда пара (S,U ) называется неориентированным графом. Элементы множества S называются вершинами графа, а элементы множества U - ребрами. Итак, G = (S,U ) граф -

это конечное множество вершин S и множество ребер U .

Вершины графа обозначают по-разному: или большими буквами, или малыми с индексами; для ребер наиболее употребительное обозначение - u с индексом, например, u1, u2 ,...,un . Взаимное расположение, форма и длина ребер значения не имеют. Важно лишь

то, что они соединяют две данные вершины множества S .

совпадают, то дугу называют петлей. В графе G могут существовать дуги (ребра) с одинаковыми концевыми вершинами. Такие дуги называются параллельными.

Если в графе G = (S,U ) все элементы множества U изображаются дугами, то граф

называется ориентированным или орграфом, если ребрами, то неориентированным. Два ребра называются смежными, если они имеют общий конец.

Вершина x1 и ребро u1 называются инцидентными, если x1 является концом ребра u1

и не инцидентными в противном случае. Таким образом, смежность есть отношение между однородными элементами графа, тогда как инцидентность является отношением между разнородными элементами.

Число вершин графа называется его порядком. Степенью P(xi ) вершины xi

называется число дуг (ребер) графа G , инцидентных данной вершине. Вершина степени нуль называется изолированной, а если степень равна единице, то такая вершина называется

висячей.

Граф G называется простым, если он не содержит петель и параллельных дуг. Простой граф, в котором каждая пара вершин смежна, называется полным. Граф, содержащий хотя бы две параллельные дуги (ребра), называется мультиграфом. Граф, содержащий петли, называется псевдографом.

Графы удобно изображать в виде рисунков, состоящих из точек и линий, соединяющих некоторые из этих точек. Два графа G и G1 называются изоморфными, если

между множеством их вершин существует такое взаимно однозначное соответствие, при котором в одном из графов ребрами соединены вершины в том и только в том случае, если в другом графе ребрами соединены те же вершины. Для орграфов ориентация дуг должна быть также одинаковой.

Очевидно, что отношение изоморфизма графов является эквивалентностью, т. е. оно симметрично, транзитивно и рефлексивно. Следовательно, множество всех графов разбивается на классы так, что графы из одного класса попарно изоморфны, а графы из разных классов не изоморфны.

Способов задания графов – великое множество. Самый простой способ – задание множеств S и U . Граф также может быть задан просто рисунком. В силу изоморфизма один и тот же граф может быть изображен разными рисунками.

Граф называется плоским (планарным), если он может быть изображен на плоскости так, что все пересечения ребер являются его вершинами.

39

различны, и простой цепью, если все его вершины, кроме, возможно, крайних, различны. Гамильтоновой цепью называется простая цепь, содержащая все вершины графа.

Маршрут называется циклическим, если x1 = xk+1 . Циклическая цепь называется

циклом, а циклическая простая цепь – простым циклом. Число ребер в маршруте называется длиной маршрута. Гамильтоновым циклом называется простой цикл, содержащий все вершины графа. Длина всякого цикла не менее трех в графе без петель и кратных ребер. Минимальная из длин циклов графа называется его обхватом.

Важным понятием теории графов является связность. Граф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом.

В подавляющем большинстве случаев граф задается матрицей. Для расчетов на ЭВМ это единственный способ. Наиболее часто граф задают с помощью матриц смежности и

n × n порядка, где n - число вершин. Ее строки и столбцы соответствуют вершинам графа. Элементы pij матрицы смежности вершин равны числу дуг, идущих из i - той вершины в

j -ю вершину. Если орграф не содержит параллельных дуг, то матрица является бинарной и состоит только из нулей и единиц. В случае неориентированного графа ему вместе с ребром xi x j принадлежит и ребро x j xi , поэтому матрица смежности вершин будет симметрической.

Матрица смежности вершин однозначно определяет структуру графа. Аналогично можно

векторами инциденций графа G. Матрица инциденций

40

также однозначно определяет структуру графа.

Весьма важным видом графа является связный граф, не имеющий циклов, он называется деревом. В дереве любые две вершины связаны единственным путем.

Рассмотрим связный граф G = (S,U ), пусть x1 и x2 - две его вершины. Длина кратчайшего (x1, x2 ) - маршрута называется расстоянием между вершинами x1 и x2 обозначается через d(x1 , x2 ). Очевидно, что расстояние между вершинами является простой

Минимальный из эксцентриситетов вершин графа называется его радиусом и обозначается

Вершина x называется периферийной, если ее эксцентриситет равен диаметру графа, т. е. e(x) = d (G). Простая цепь, расстояние между концами которой равно d(G), называется

диаметральной цепью.

вершина x5 .

1.13.4. Релейно-контактные (переключательные) схемы. Рассмотрим еще один способ реализации функций алгебры логики – релейно-контактные схемы (РКС), широко используемые в электронно-вычислительной технике. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно. Однако оказалось, что при конструировании РКС можно использовать аппарат булевых функций.

Исходное замечание состоит в том, что если логической переменной x поставить в соответствие проводник, по которому ток идет или нет в зависимости от того x = 1 или x = 0, то последовательному соединению проводников отвечает конъюнкция переменных, а параллельному – дизъюнкция. Часто проводники на схемах заменяют обозначением специальных устройств – переключателей, которые могут быть механическими и электронными. Многократно используя параллельно-последовательные соединения, можно строить сложные схемы. Мы ограничимся только схемами, в которых соединяются лишь контакты. Контакт или переключатель будем изображать отрезком или прямоугольником, концы контакта называть полюсами. Конструкция, изображенная на рис. 1.16, называется двухполюсником. Двухполюсник будем снабжать символом переменной x , если контакт

41

паралллельно-последовательной), если таковым является ее граф. Параллельно- последовательная схема называется π -схемой. В графе выделяются две вершины: вход и выход. Часто вход изображает полюс в виде светлого кружка, остальные полюса изображаются темными кружками.

Какую же функцию алгебры логики реализует контактная схема? Эта функция равна единице при тех значениях аргументов, при которых в схеме есть проводимость, и нулю, если проводимости нет. Пусть a и b - два полюса контактной схемы Σ , [a,b] - некоторая

цепь, соединяющая a и b , и K[a,b] - конъюнкция букв, приписанных ребрам цепи [a,b].

в которой дизъюнкция берется по всем простым цепям схемы, соединяющим полюса a и b , называется функцией проводимости между полюсами a и b схемы Σ . На самом деле для получения функции проводимости достаточно брать дизъюнкцию не по всем цепям, а лишь по некоторым.

Цепь Γ1 называется существенной, если она ни через какую вершину графа не проходит дважды. Оказывается, что дизъюнкция конъюнкций, соответствующих существенным цепям, равносильна функции проводимости. Действительно, пусть имеется некоторая цепь, в которой некоторая вершина встречается дважды. Отбросим все контакты, которые встречаются между двумя прохождениями через эту вершину. Ясно, что при этом мы вновь получим цепь, причем если все контакты исходной цепи были замкнуты, то будут замкнуты и все контакты вновь полученной цепи. Таким образом, последовательно сокращая цепь, можно получить существенную цепь, в которой будет проводимость, если была проводимость в исходной цепи.