Mashkovsky_Lesnaya_biometria

всевозможные пары проставленных ранее четырех точек прямыми линиями. В результате после регистрации первых десяти наблюдений, попадающих в какой-нибудь интервал, во второй графе табл. 8 для соответствующего интервала появится изображение квадрата с двумя диагоналями («конверта»). Следующие десять наблюдений регистрируют таким же образом, как и первый десяток, и т. д. В конечном итоге после просмотра всей выборочной совокупности исходных данных во второй колонке табл. 8 в каждом классе будет присутствовать несколько полных и, как правило, один неполный «конверт». Каждый полный конверт дает десять наблюдений. Подсчитывая количество полных «конвертов», определяют число десятков, а подсчитывая число точек и черточек в неполном «конверте» – число единиц для частоты данного интервала. Полученные частоты интервалов заносят в третью колонку табл. 8.

Таблица 8. Разноска вариант по классам

Таблица 9. Шифры частот, используемые при регистрации

наблюдений

В качестве примера составим интервальный вариационный ряд для выборочной совокупности диаметров, измеренных на высоте груди у 218 деревьев в чистом сосновом древостое (табл. 10).

Пользуясь табл. 7, выберем число интервалов для нашего вариационного ряда K = 12. Минимальная и максимальная варианта для данной выборочной совокупности диаметров следующие:

xmin = 9,8; xmax = 42,6.

Воспользовавшись (4), определим величину классового интервала:

22

Далее, согласно (5), определим границы первого интервала: x1н = xmin −λ/ 2 = 9,8 − 2,7 / 2 = 8,45;

x1в = xmin + λ/ 2 = 9,8 + 2,7 / 2 =11,15.

Таблица 10. Замеры высот и диаметров в чистом сосновом древостое

23

Теперь, используя (6), можно определить границы всех классовых интервалов (табл. 11). Следующий этап составления вариационного ряда состоит в разноске наблюдений по классовым интервалам. Шифры частот, полученные в результате выполнения этой работы, приведены во второй колонке табл. 11. Третья и четвертая колонка данной таблицы содержит абсолютные и относительные частоты вариационного ряда по диаметрам.

Таблица 11. Распределение деревьев по диаметру на высоте груди

В приведенном примере величина интервала 2,7 (9) оканчивается на нечетную цифру. Это привело к тому, что последняя цифра у всех границ интервалов – пять сотых. В связи с тем, что исходные данные представлены с точностью до десятых, при разноске наблюдений по интервалам всегда понятно, к какому интервалу следует отнести то или иное наблюдение. Попробуем построить интервалы для выборочной совокупности, представляющей собой

24

измерения диаметров у 200 деревьев, взятых из последних четырех столбцов табл. 1 приложения с номерами 17 ,18, 19 и 20, в каждом из которых приведены замеры 50 деревьев. В рассматриваемой совокупности диаметров найдем минимальное и максимальное значения признака: xmin = 17,7; xmax = 56,6. С учетом объема выборки принимаем количество интервалов k = 12 в будущем статистическом ряду согласно рекомендациям, приведенным в табл. 7. Теперь, пользуясь формулой (4), определяем величину интервалов будущего вариационного ряда следующим образом:

Далее определяем границы первого интервала вариационного ряда таким образом, чтобы минимальное значение в выборке попало в его середину (5):

x1н = xmin − λ2 =17,7 − 32,2 =16,1; x1в = xmin + λ2 =17,7 + 32,2 =19,3 ;

Вычислив границы остальных интервалов, пользуясь формулами (6), получим: 16,1–19,3; 19,3–22,5; 22,5–25,7; 25,7–28,9; 28,9–32,1; 32,1–35,3; 35,3–38,5; 38,5–41,7; 41,7–44,9; 44,9–48,1; 48,1– 51,3; 51,3–54,5; 54,5–57,6. Если делать разноску диаметров по приведенным выше интервалам, то в некоторых случаях будет возникать неопределенность (например, при разноске диаметра 25,7, так как он попадает точно на границу между третьим и четвертым интервалами). Для того чтобы избежать таких ситуаций, часто поступают следующим образом. Верхние границы интервалов уменьшают на величину, равную точности представления исходных данных. В этом случае нижние и верхние границы интервалов будут связаны следующем соотношением:

минимальная величина, на которую могут отличаться различные значения признака (обусловливается точностью измерения данных).

Для того чтобы верхние и нижние границы были связаны соотношением (11), выражения (5) и (7) следует представить в

25

следующем виде:

Так как измерения диаметров в рассматриваемом примере выполнены с точностью до 0,1 см, то значение ε следует взять равным ε = 0,1. Новые, сформированные с помощью выражений (12) и (6) интервалы и результаты разноски по ним диаметров деревьев, приведены в табл. 12.

В качестве значений для сформированных классовых интервалов в дальнейших расчетах используют их середины, которые можно вычислить по следующей формуле:

где xi – значения классовых интервалов.

Вычисленные по формуле (14) середины интервалов для рассматриваемого примера приведены в третьей колонке табл. 12.

Кроме описанной выше простой группировки данных, в некоторых случаях группировку целесообразно осуществить сразу по двум параметрам. Такая необходимость, как правило, возникает, если нужно проанализировать связь между двумя случайными величинами. В таких случаях составляют так называемые таблицы распределения (корреляционные таблицы, корреляционные решетки).

Для примера составим таблицу распределения деревьев по классам диаметра и высоты в чистом сосновом древостое по материалам выборочной совокупности, представляющей собой измерения диаметров и высот у 200 деревьев, взятых из последних четырех столбцов табл. 1 приложения с номерами 17 ,18, 19 и 20. Для этого воспользуемся интервалами рядов распределения деревьев по диаметрам (табл. 12).

Так же как и для ряда по диаметрам, пользуясь табл. 7, выберем число интервалов K для вариационного ряда по высотам, равным 12. Минимальная и максимальная высота в рассматриваемом примере

равны: xmin = 17,5; xmax = 29,6.

Далее, согласно (4), находим величину классового интервала:

26

Построим интервалы для ряда высот таким образом, чтобы среднее арифметическое значение попало в середину интервала. Для этого воспользуемся выражениями (13). В связи с тем, что высоты в данном примере измерены с точностью до 0,1 м, значение ε установим равным ε = 0,1. Оценку среднего арифметического вычислим, просуммировав первые 25 высот из рассматриваемой выборки и разделив их на 25:

Далее, воспользовавшись формулами (13), получим: xнk = x −λ/ 2 = 26,1−1,0 / 2 = 25,6;

xвk = x + λ/ 2 −ε = 26,1+1,0 / 2 −0,1 = 26,5.

Используя (6) и (8), можно определить границы всех классовых

27

интервалов. Полученные интервалы и частоты вариационного ряда высот приведены в табл. 13.

Таблица 13. Распределение наблюдений по интервалам (высоты)

Для построения корреляционной решетки вычисленные границы интервалов по высоте заносятся в первую колонку, а границы интервалов ряда по диаметрам – в первую строку таблицы (корреляционной решетки) (табл. 14). Далее необходимо выполнить разноску деревьев по клеткам корреляционной таблицы на основании значений их высот и диаметров. Шифры частот, полученные в результате выполнения этой работы, заносятся в клетки таблицы, а затем под дробной чертой записываются полученные численности для каждой клетки корреляционной решетки.

28

Табл. 14. Распределение наблюдений по интервалам диаметра и высоты

29

31

где e(x) – функция единичного скачка (функция Хевисайда):

0, x < 0, e(x) =

1, x ≥ 0.

На рис. 1 приведен типичный график функции Fn (x) .

0

xn1 xn2 xn3 xnk-2 xnk-1 xnk

Рис. 1. Эмпирическая функция распределения

Очень важным является то, что эмпирическая функция распределения Fn (x) при увеличении размера выборки n (n→∞) сходится по вероятности к функции распределения F(x) генеральной совокупности. В связи с этим Fn (x) используется для оценки функции распределения F(x) .