Mashkovsky_Lesnaya_biometria

Вычислим коэффициенты уравнения параболы второго порядка, описывающего связь высот и диаметров деревьев в древостое. Для выполнения вычислений составим вспомогательную таблицу, аналогичную той, которую составляли для регрессионного уравнения прямой (табл. 46). Подставив найденные значения в систему нормальных уравнений (190), получим

202

Таблица 46. Вспомогательная таблица для вычисления коэффициентов регрессии параболы

203

Найдем решение системы нормальных уравнений (191). Сначала разделим все уравнения системы на коэффициенты при параметре a0:

Теперь вычтем первое уравнение системы (192) из второго, а второе – из третьего. В результате получим систему из двух уравнений:

Теперь вновь разделим уравнения системы (193) на коэффициент, на этот раз при параметре a1:

Вычитая первое уравнение системы (194) из второго, получим a2 3,18 049 = −0,02 962 ,

откуда нетрудно выразить параметр a2:

a2 = − 0,02 962 = −0,009 313. 3,18 049

Подставив полученное значение параметра a2 в первое уравнение системы (194), выразим из него и вычислим величину параметра a1:

a1 = 0,20167 − a2 69,35 482 =

(195)

= 0,20167 − (−0,009 313 69,35 482) = 0,8476.

Теперь, воспользовавшись первым уравнением из системы (192), а также значениями параметров a1 и a2, вычислим величину a0:

a0 = 24,8020 − a1 31,6020 − a2 1053,9860 =

= 24,8020 − 0,8476 31,6020 − (−0,009 313 1053,9860) = = 24,8020 − 26,7859 +9,8158 = 7,8319. (196)

В результате выполненных вычислений мы получили регрессионное уравнение параболы второго порядка, описывающее зависимость высоты от диаметра в чистом сосновом древостое:

204

На рис. 29 изображено полученное регрессионное уравнение параболы второго порядка.

Рис. 29. Зависимость между высотами и диаметрами деревьев в древостое (парабола второго порядка)

Для анализа полученного уравнения рассчитаем таблицу дисперсионного анализа (табл. 47). Число степеней свободы для суммы квадратов, обусловленной регрессией, в случае квадратной параболы равно 2, так как, помимо свободного члена, в этом уравнении есть два коэффициента регрессии – a1 и a2. Общей скорректированной сумме квадратов соответствует число степеней свободы, на единицу меньшее общего количества наблюдений, т. е.

отклонений эмпирических высот от теоретических (табл. 46). Это значение 478,30 является суммой квадратов отклонений относительно регрессии, или остатком (табл. 47).

Таблица 47. Дисперсионный анализ уравнения параболы второго

порядка

Общая скорректированная сумма квадратов отклонений – это сумма квадратов отклонений всех высот от средней арифметической высоты. Данная величина была получена ранее для рассматриваемых данных при вычислении показателей вариации (табл. 23), и мы ее уже использовали для расчета таблицы дисперсионного анализа при исследовании регрессионного уравнения прямой линии (табл. 45). Сумму квадратов отклонений, обусловленную регрессией, можно вычислить как разницу между общей скорректированной суммой квадратов отклонений и остатком: 1051,51 – 478,30 = 573,21. Разделив суммы квадратов на соответствующие числа степеней свободы, получим средний квадрат, обусловленный регрессией (286,61), и средний квадрат относительно регрессии (2,43).

Теперь мы можем вычислить F-статистику Фишера, применив формулу (141):

= MSR = 286,61 =

F s2 2,43 117,95 .

Пользуясь полученным значением, проверим гипотезу, заключающуюся в предположении о равенстве нулю всех коэффициентов регрессии уравнения параболы второго порядка, за исключением свободного члена. Для этого в табл. 8 приложения найдем квантиль распределения Фишера с 2 и 197 степенями свободы для уровня значимости α = 0,05. Это значение равно F0,05, 2,197 = 3,00. Так как вычисленное значение F-критерия Фишера превышает табличное, мы отвергаем проверяемую нулевую гипотезу.

206

Следовательно, результаты расчетов подтверждают значимость полученного регрессионного уравнения параболы второго порядка, описывающего связь между диаметрами и высотами деревьев в древостое.

Далее, пользуясь формулой (142), вычислим коэффициент детерминации

i=1

Приведенная R2 статистика для уравнения параболы второго порядка, вычисленная с помощью выражения (143), будет равна:

Ra2 =1−(1− R2 ) n −n m−1−1 =

Теперь извлечем квадратный корень из коэффициента детерминации, для того чтобы получить коэффициент корреляции:

R = R2 = 0,5451 = 0,7383.

Величина коэффициента корреляции 0,7383 позволяет оценить степень адекватности параболической модели связи между высотами и диаметрами экспериментальным данным как высокую.

Следующий этап оценки качества полученного уравнения регрессии будет заключаться в проверке гипотез о равенстве коэффициентов регрессии нулю. Для этого следует вычислить t- статистики Стьюдента для коэффициентов a0, a1 и a2. Для того чтобы можно было воспользоваться формулами (183), (168) и (162), необходимо вычислить значения С2, С3 и С4 с помощью формул (155). В случае параболы второго порядка переменная x1 = x, а переменная x2 = x2. Тогда уравнения (155) будут выглядеть следующим образом:

207

Учитывая то, что вычисления выполняются на основе сгруппированных данных – корреляционной решетки, формулы для вычисления значений С2, С3 и С4 представим следующим образом:

где k – количество классов (количество ячеек корреляционной решетки); xi – значение класса вариационного ряда диаметров,

соответствующее i-той ячейки корреляционной решетки; f i – частота

i-того класса (i-той ячейке корреляционной решетки).

Необходимые для вычислений суммы мы можем найти в табл. 20, 46. Остаточный средний квадрат s2 возьмем из табл. 47:

Теперь, пользуясь формулами (183) (168) и (162), а также учитывая, что переменная x1 = x, а переменная x2 = x2, вычислим t-критерии Стьюдента для проверки гипотез о равенстве коэффициентов регрессии a0, a1 и a2 нулю. Для этого подставим вычисленные ранее значения С2, С3 и С4 (198), величину коэффициента a0 (196) и остаточный средний квадрат s2 из табл. 47 в формулу (183) и получим t-критерий для коэффициента регрессии a0:

= 7,8319 (200 (11059,9 54 466 460,6 − 767 069,02 ))1/ 2

(2,43 (276 643 758,2 210 797,2 − 7 428 682,12 ))12 =

=7,8319 1673 245,758(2.43 3130 411883176,63)12 =

=7,8319 1673 245,7582 758 061,072 = 4,7514 .

Подставив вычисленные значения С2, С3 и С4 (198), величину коэффициента a1 (195) и остаточный средний квадрат s2 из табл. 47 в формулу (168), вычислим t-критерий для коэффициента регрессии a1:

= 0,8476 105,7 679 3891/ 2 = 0,8476 10,2844 =8,717 .

Аналогичным образом по формуле (162) вычислим t-критерий и для коэффициента регрессии a2:

209

=−0,009 313 520 873,17961/ 2 =

=−0,009 313 721,7154 423 = −6,721.

Далее, для проверки гипотезы о равенстве коэффициентов регрессии a0, a1 и a2 нулю в табл. 5 приложения следует найти значение квантиля t-распределения Стьюдента для уровня значимости

α = 0,05 и 197 степеней свободы t0,05;197 = 1,653. Так как абсолютные величины вычисленных t-статистик для всех трех коэффициентов

и ta2 = − 6,721 >1,653 , то нулевую гипотезу о равенстве

коэффициентов регрессии нулю следует отвергнуть. Следовательно, коэффициенты регрессии значимы.

Стандартная ошибка регрессионного уравнения параболы второго порядка может быть вычислена по формуле (140), но в связи с тем, что исходные данные в рассматриваемом примере сгруппированы и вычисления ведутся на основе корреляционной решетки (табл. 14), так же как и для уравнения прямой линии, удобнее воспользоваться формулой (189). Подставляя в формулу (189) необходимые значения из табл. 46 и учитывая, что для квадратной параболы m = 2, получим

Используя данные дисперсионного анализа уравнения регрессии, приведенные в табл. 47, стандартную ошибку оценки можно определить, вычислив квадратный корень из среднего квадрата относительно регрессии:

s = 2,43 =1,559 .

7.5. Оценка коэффициентов гиперболы

Рассмотрим процесс построения регрессионной модели,

Для того чтобы получить оценку коэффициентов a0 и a1 уравнения прямой линии методом наименьших квадратов, следует решить систему нормальных уравнений. В случае гиперболы вида

210

(199) эта система будет выглядеть следующим образом:

Вычислим коэффициенты регрессии гиперболы по данным замеров диаметров и высот деревьев в древостое. Для этого воспользуемся результатами группировки, приведенными в таблице распределения 14. В связи с тем, что данные, на основе которых будут выполняться вычисления, сгруппированы, запишем систему нормальных уравнений (200) следующим образом:

Для того чтобы вычислить все необходимые суммы, составим вспомогательную таблицу (табл. 48).

В данной таблице суммы вычисляются сначала по интервалам, а затем складываются. Подставив значения сумм в систему нормальных уравнений (201), получим

Решим полученную систему уравнений. Для этого разделим каждое из уравнений системы (202) на коэффициенты при параметре a0:

211