Mashkovsky_Lesnaya_biometria

или систему уравнений

∂ln(L(x1, x2 ,K, xn ; a1, a2 ,Kar ))= ∂a j

j =1, r ,

Приведем примеры функций правдоподобия для конкретных распределений случайной величины X.

13.Если X распределена нормально, то для нахождения оценок параметров m и σ используется функция правдоподобия:

где xi ,i =1, n – наблюдаемые значения случайной величины X. 14.Если дискретная случайная величина X имеет биномиальное

распределение pn (m) = Cnm pm (1 − p)n−m , i = 0, n , то для оценки

вероятности p появления события в каждом испытании по результатам наблюдаемых значений (табл. 30) рассматривается функция правдоподобия:

Использование метода наибольшего правдоподобия приводит иногда к решению сложных систем уравнений, хотя в результате получаем состоятельные (иногда немного смещенные) оценки (смещение оценок устраняется введением поправок). Если существует эффективная оценка, то ее можно найти с помощью этого метода. Оценки наибольшего правдоподобия асимптотически эффективны и имеют асимптотически нормальное распределение.

4.1.3.Метод моментов

Метод моментов заключается в том, что статистические моменты выборки (формулы (64) и (65)) принимаются в качестве оценок для моментов распределения случайной величины X, зависящих от неизвестных параметров. В свою очередь оцениваемые параметры могут быть выражены в виде определенных функций

122

теоретических моментов. Заменяя теоретические моменты их оценками, т. е. статистическими моментами выборочного распределения, получаем оценки параметров. Заметим, что этот метод отличается простотой, хотя иногда приводит к малоэффективным и смещенным оценкам, т. е. оценки, найденные с помощью этого метода, не являются наилучшими. Однако для параметров нормального распределения метод моментов дает эффективные и состоятельные оценки.

4.2.Интервальное оценивание

Мы рассмотрели способы оценки неизвестных параметров закона распределения случайной величины X по данным выборки. Получаемые при этом точечные оценки a~i не совпадают (за

исключением редких случаев) с истинным значением неизвестных параметров ai . Следовательно, всегда имеется некоторая погрешность

при замене неизвестного параметра его оценкой, т. е. | a~ − a |> 0 .

Величина погрешности при этом неизвестна, хотя требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой.

Чтобы получить представление о точности и надежности оценки a~ для параметра a, в математической статистике рассматривают вероятность неравенства | a~ −a |< δ:

И если эта вероятность близка к единице, т. е. если

P(a~ −δ < a < a~ +δ)=1−α ,

то диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене a на a~ , равен ±δ. Причем большие по абсолютной величине ошибки появляются с вероятностью α,α > 0. Чем меньше для данного α > 0 будет δ > 0 , тем точнее оценка a~ . Из соотношения (103) видно, что вероятность того, что интервал ]a~ −δ;a~ +δ[ со случайными концами накроет неизвестный параметр, равна p =1−α.

Эта вероятность называется доверительной вероятностью.

Доверительный интервал для параметра a – это случайный

который с заданной доверительной вероятностью p =1−α накрывает неизвестный параметр a.

123

Граничные точки доверительного интервала называются соответственно нижним и верхним доверительными пределами.

доверительный интервал. Доверительные интервалы могут изменяться от выборки к выборке. Более того, для данной выборки различные методы построения доверительных интервалов могут привести к различным интервалам. Поэтому выработаны определенные правила. Используя их и эффективные оценки неизвестных параметров, получают кратчайшие интервалы для заданной доверительной вероятности p =1−α.

Выбираемый уровень достоверности в определенной степени зависит от необходимой надежности результатов. Практический опыт показывает, что чаще всего используется значение p = 0,95 (т. е. уровень значимости α = 0,05), несколько реже p = 0,9 (α = 0,1), и p = 0,99 (α = 0,01).

Общая процедура получения интервальной оценки следующая. Записывается вероятностное утверждение вида

где f(g) – функция плотности вероятности некоторой подходящей статистики g. При этом значения δ1 и δ2 ищутся обычно с учетом дополнительных условий:

Аргумент выражения (104) преобразуется таким образом, чтобы в окончательном виде оцениваемый параметр оказался заключенным между величинами, найденными по выборке. Это и будут границы доверительного интервала (l1, l2 ). Статистика g(a, a~) выбирается

таким образом, чтобы она допускала подобное преобразование и имела известную, лучше табулированную функцию плотности вероятности f(g). Последнее обстоятельство существенно упрощает определение значений δ1 и δ2.

В качестве иллюстрации получим интервальную оценку математического ожидания mx нормальной генеральной совокупности

124

с известной дисперсией σ2x . Так как

g= x −mx

σx n

подчиняется нормированному нормальному распределению (табл. 3 приложения), то с учетом (105) соотношение (104) примет вид

Преобразуем аргумент следующим образом:

−Uα2 σnx − x ≤ −mx ≤Uα2 σnx − x

Таким образом, мы получили следующие границы доверительного интервала:

lˆ1 = x −Uα2 σnx ;

lˆ1 = x +Uα2 σnx ,

Ширина полученного интервала равна

L = (lˆ2 −lˆ1 )= 2 Uα2 σnx .

Рассмотрим пример построения такого доверительного интервала. Предположим, у нас имеется нормально распределенная случайная величина, для которой известно значение дисперсии

σ2x = 64. Произведено 16 независимых наблюдений этой величины, по которым найдено среднее арифметическое значение x =10,4 в

качестве оценки математического ожидания изучаемой случайной величины. Требуется построить для математического ожидания 95%- ный доверительный интервал, т. е. доверительный интервал с p = 0,95.

С помощью (106) получаем

125

параметров нормального распределения. Это распределение имеет два параметра: mx – математическое ожидание и σ – среднеквадратическое отклонение. В том случае, если точечные оценки параметров m и σ получены на основании выборки, доверительный интервал для математического ожидания строится в соответствии со (107) и требует использования квантилей распределения Стьюдента для уровня значимости α/2 и числа степеней свободы n – 1 (табл. 5 прил.).

Вычислим доверительные интервалы для параметра нормального распределения mx по материалам вариационных рядов диаметров и высот. Используя средние арифметические 200 измеренных диаметров и высот, вычисленные ранее ((42) и (43)), а также среднеквадратические отклонения (69) и (72) и исходя из предположения, что диаметры деревьев подчиняются закону нормального распределения, найдем доверительные интервалы, накрывающие параметры m и σ с доверительной вероятностью 0,95. В таблице квантилей распределения Стьюдента 5 в приложении

находим t0,025;199 = 1,972. Тогда доверительный интервал для среднего арифметического значения с учетом выражения (107) будет

следующим:

отклонения σ строится следующим образом. Преобразуем (108) как показано ниже:

распределения χ2, соответствующие числу степеней свободы γ = n – 1 и уровням значимости α/2 и 1 – α/2. Коэффициенты γ1 и γ2 приведены в приложении (табл. 6).

Для того чтобы вычислить границы доверительных интервалов для среднеквадратического отклонения по материалам вариационных рядов диаметров и высот, найдем по табл. 6 приложения

127

коэффициенты γ1 = 0,912 и γ2 = 1,11 для уровня значимости α = 0,05. Используя точечные оценки среднеквадратических отклонений для данных по диаметрам (69) и высотам (72) и с учетом выражения (109), получаем доверительные интервалы для среднеквадратического отклонения:

]7,455 0,912; 7,455 1,11[, или ]6,799; 8,275[ – диаметры; ]2,299 0,912; 2,299 1,11[, или ]2,097; 2,552[ – высоты.

128

5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Выборочные статистики являются случайными величинами. Они будут изменяться случайным образом от одной выборки к другой, варьируя около среднего уровня, соответствующего характеристике генеральной совокупности. Каждая выборочная характеристика, определяемая как функция выборки, имеет соответствующий закон распределения. В связи со сказанным выше возникает задача статистической проверки гипотез относительно числовых характеристик выборки и их законов распределения.

Информация, полученная при обработке выборки из некоторой совокупности, может быть использована для получения выводов (решений) обо всей совокупности. Подобные выводы (решения)

называются статистическими решениями.

Статистической гипотезой, обозначаемой H, называется любое предположение относительно вида или параметров распределения случайной величины X, которое может быть проверено по результатам выборки.

Предположение, выдвигаемое в отношении вида распределения случайной величины, называется непараметрической гипотезой.

Любое предположение, однозначно определяющее распределение выборки, называется простой гипотезой.

Пусть дано m + 1 распределение P0, P1, ..., Pm и известно, что выборка x1, x2, ..., xn принадлежит одному из этих распределений. Необходимо определить, к какому именно распределению Pi принадлежит выборка. Каждая из гипотез Hi: Hi – выборка принадлежит распределению Pi будет простой. Гипотезы могут

формулироваться и о значениях параметров распределения известного вида. Такие гипотезы называются параметрическими гипотезами.Если параметрическая гипотеза содержит только одно предположение относительно параметра, то она называется простой гипотезой.

Параметрическая гипотеза называется сложной, если состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. При этом одно из таких предположений выбирается в качестве основного и называется нулевой гипотезой H0. Другие предположения или возможности называют альтернативными гипотезами H0, H1, ….После формулировки статистических гипотез ставится задача их проверки

129

по результатам случайной выборки. Для проверки статистической гипотезы с помощью статистического критерия устанавливается, соответствуют ли взятые из выборки данные выдвинутой гипотезе, т. е. нужно принять или отвергнуть гипотезу.

Статистическим критерием для проверки гипотез H0, H1, ..., Hm называют случайную величину d(X), принимающую значения Hi, т. е. это отображение выборочного пространства на множество рассматриваемых гипотез. Если d(X) = Hk, то принимают гипотезу Hk.

Так как статистический критерий формулируется по результатам конечной случайной выборки и выборка может быть неудачной, то при проверке статистической гипотезы всегда существует риск принять ложное решение.

Рассмотрим гипотезу H0 и альтернативную гипотезу H1 и допустим, что во всех случаях, когда H0 – истина, действие A предпочтительнее действия B, в противном случае – предпочтительнее действие B. При проверке гипотезы с помощью статистического критерия может возникнуть одна из четырех ситуаций:

1)гипотеза H0 истинна (и поэтому H1 ложна) и предпринимается действие A (принимается истинная гипотеза);

2)гипотеза H1 истинна (и поэтому H0 ложна) и предпринимается действие A (принимается ложная гипотеза);

3)гипотеза H0 истинна (и поэтому H1 ложна) и предпринимается действие B (принимается ложная гипотеза);

4)гипотеза H1 истинна (и поэтому H0 ложна) и предпринимается действие B (принимается истинная гипотеза).

В ситуациях 2 и 3 совершается ошибка. Однако ошибки в этих двух ситуациях качественно отличаются друг от друга.

Существует два типа ошибок.

−ошибка первого рода, состоящая в отвержении гипотезы H0, когда она истинна;

−ошибка второго рода, состоящая в принятии гипотезы H0, когда она ложна.

Число

αi = αi (δ)= Pi (δ(X )≠ Hi ),

характеризующее вероятность отвержения гипотезы Hi, когда она верна, называют вероятностями ошибок (i + 1)-го рода критерия d.

Правильное решение также может быть принято двумя способами (ситуация 1 и 4):

130

−когда гипотеза H0 принимается, ибо она верна (не совершается ошибка 1-го рода);

−когда гипотеза H0 отвергается, ибо она ложна (не совершается ошибка 2-го рода).

Познакомимся с наиболее распространенными критериями.

5.1.Непараметрические критерии

Непараметрические критерии, называемые также критериями согласия, используются для проверки гипотез, выдвигаемых в отношении вида распределения исследуемой случайной величины по материалам выборки. Рассмотрим некоторые из них.

5.1.1.Критерий Пирсона хи-квадрат (χ2)

Для того чтобы выяснить, подчиняются ли экспериментальные данные какому-либо закону распределения, надо сформулировать статистическую гипотезу в отношении распределения анализируемой случайной величины и затем проверить ее. Рассмотрим процесс проверки непараметрической гипотезы с помощью одного из критериев согласия – критерия Пирсона. На первом этапе следует выдвинуть нулевую гипотезу, состоящую в том, что анализируемый признак подчиняется какому-либо закону распределения. Далее, исходя из предположения о том, что нулевая гипотеза справедлива, следует вычислить статистику χ2:

Полученное значение сравнивается с квантилем распределения Пирсона χ2, приведенного в табл. 7 приложения. В качестве параметров распределения используется уровень значимости (обычно используется α = 0,05) и число степеней свободы:

где k – общее число степеней свободы, равное числу слагаемых в сумме из формулы (110); ρ – число параметров теоретической функции распределения, которые оценивались по анализируемым данным.

При вычислении критерия Пирсона следует иметь в виду, что

131