Mashkovsky_Lesnaya_biometria

v = 1, w = 1

Рис. 22. Плотность распределения вероятностей

v = 1, w = 2

v = 1, w = 1

v = 2, w = 1

Рис. 23. Функция распределения вероятностей

102

v = 0,2, w = 1,0

v = 0,5, w = 0,5

Рис. 24. Плотность распределения вероятностей

v = 0,2, w = 1,0

v = 0,5, w = 0,5

Рис. 25. Функция распределения вероятностей

103

w = (1 − x) x (S12− x) −1 ,

где x – выборочное среднее; S 2 – выборочная дисперсия (без поправки Бесселя).

Распределение Грама-Шарлье (другие названия: обобщенное нормальное распределение или распределение типа А) представляет собой бесконечный ряд, использующий функцию нормального распределения и ее производные. Для практических целей обычно

где ϕ(x) – функция плотности нормального распределения; ϕIII(x), ϕIV(x) – третья и четвертая производные функции нормального распределения; A – коэффициент асимметрии; E – коэффициент эксцесса.При вычислении функции плотности вероятностей значения ϕ(x), ϕIII(x) и ϕIV(x) можно найти в статистических таблицах. При этом следует помнить следующие соотношения:

ϕ(–x) = ϕ(x); ϕIII(–x) =– ϕIII(x); ϕIV(–x) = ϕIV(x).

Приблизительно вычислить теоретические частоты для распределения Грамма-Шарлье можно с помощью формулы

где n – объем выборки; η – величина интервала; Sx – среднеквадратическое отклонение.

Однако следует помнить, что в статистических таблицах значения приведены для функции нормального распределения с параметрами m = 0 и σ = 1. Для того чтобы можно было воспользоваться этими таблицами, следует перейти к нормированной случайной величине:

T = X σ−m .

Рассмотрим пример вычисления теоретических частот обобщенного нормального распределения на примере рядов

104

распределения диаметров и высот деревьев в древостое (табл. 12 и 13). Для выполнения вычислений составим вспомогательную таблицу (табл. 28). С учетом того, что оценкой параметров нормального распределения методом моментов являются среднеквадратическое отклонение и среднее арифметическое, вычислим нормированные значения интервалов следующим образом:

ti = xiS−x x .

После того как нормированные значения классов ti вычислены, с помощью табл. 9 приложений следует найти для каждого интервала значения функции плотности нормального распределения, а также ее третьей и четвертой производных. Значения коэффициентов асимметрии и эксцесса возьмем из 2-й главы A = 0,8218 (70) и E = 0,7177 (71). Плотность распределения вероятностей для каждого интервала вычислим по формуле

P(ti ) = f (ti ) − A6 f III (ti ) + 24E f IV (ti ) .

105

Таблица 28. Вычисление теоретических частот для функции обобщенного нормального распределения (диаметры)

106

Для вычисления теоретических частот воспользуемся формулой (97). В последнюю колонку табл. 28 запишем отклонения эмпирических частот ряда распределения диаметров деревьев от теоретических.

Аналогичным образом можно вычислить теоретические частоты для вариационного ряда высот (табл. 29).

Необходимые для вычисления значения коэффициентов асимметрии и эксцесса возьмем из главы 2 A = –0,7589 (73) и

E = 0,8683 (74).

Последние колонки табл. 28 и 29, представляющие собой разность между эмпирическими и теоретическими частотами, дают нам информацию о близости обобщенного нормального и эмпирического распределений. Сравним эти отклонения с отклонениями, полученными для нормального распределения. Разница будет лучше видна, если мы изобразим эти распределения графически (рис. 26 и 27). Как видим, распределение диаметров деревьев в древостое имеет некоторую положительную асимметрию, а распределение высот – отрицательную. Кривая нормального распределения симметрична относительно среднего арифметического и, следовательно, она не может в полной мере отобразить все особенности распределения диаметров и высот деревьев в древостое. Обобщенное нормальное распределение является более гибким. Оно с успехом описывает распределения, имеющие как правостороннюю асимметрию (рис. 26, диаметры), так и левостороннюю (рис. 27, высоты).

107

Таблица 29. Вычисление теоретических частот для функции обобщенного нормального распределения (высоты)

108

3.6.Система кривых Пирсона

Распределениями Пирсона называются непрерывные распределения, плотности вероятности которых являются решениями дифференциального уравнения

где A =10 μ4 μ2 −18 μ32 −12 μ32 ; mi – i-тый центральный момент.

В соответствии с распределением корней квадратного трехчлена b0 + b1x + b2x2 различают 12 типов распределений Пирсона.

Введем следующие обозначения:

D = b0 b2 −b12 – дискриминант квадратного трехчлена;

Тип 1

D < 0, λ < 0, b0 + 2 b1 x + b2 x2 = (α - x) (β - x) b2, (α, β > 0).

Функция плотности вероятности:

110