Диаграмма относительных фазовых проницаемостей:

К_н(S) + K_в(S) < 1

S_* < S < S^*

К_н + K_в < 1

К_i – фазовая проницаемость

i = в

i = н

К – абсолютная проницаемость

Относительная проницаемость:

;

Наличие 2ой фазы мешает 1ой двигаться:

Замечание. P_i – фазовое давление в i-той активной фазе, и это давление нельзя получить простым осреднением по площади, т.к. в каждом капилляре оно будет сильно отличаться друг от друга.

Введём некоторые допущения:

1. пренебрегаем силой тяжести, в этом случае уравнение Дарси будет иметь вид:

(6)

2. пренебрегаем сжимаемостью пластовых флюидов, т.е. полагаем, что в поровом пространстве фильтруются несмешиваемые и несжимаемые жидкости, т.е.

ρ_i = const (7)

Подставим (3) в (2):

(8)

Подставим (7) в (8):

(9)

Замечание Нота-Бена:

S_в=S

S_н=1 – S_в = 1 – S (10)

i = в

- уравнение неразрывности для водной фазы (11)

i = н

- уравнение неразрывности для нефтяной фазы (11)'

Если (11)+ (11)':

Уравнение Раппопорта – Лиса:

(+)= = 0

(12)

L(S)

Система уравнений Раппопорта-Лиса описывает процесс двухфазной фильтрации двух несжимаемых, несмешивающихся между собой жидкостей в недеформируемой пористой среде с учетом капиллярных сил.

Замечания:

(комментарии к уравнению (11))

1. =+

Суммарная скорость двухфазного потока не зависит от координат (x; y; z), т.е. либо это const, либо известная функция времени.

2. Функция Леверетта L(S) полагается известной функцией от водонасыщенности S.

3. Система Раппопорта-Лиса справедлива для фильтрации двухфазной жидкости на микроуровне, т.е. на уровне проявления капиллярных сил масштаба 0,1 - 0,2 м.

Фронт вытеснения нефти водой

Макромасштабные задачи.

При переходе от мелкомасштабных задач к макромасштабным пренебрегаем капиллярными силами:

(0,1 – 0,5 м. 100 – 1000 м.)

Р_к = 0

Р_к = Р_н – Р_в = 0

Р_н = Р_в (13)

В этом случае система уравнений значительно упростится.

Система Баклея-Леверетта:

(+)= = 0

(14)

для i = 1, 2

*Система уравнений Баклея-Леверетта описывает двухфазную фильтрацию двух несжимаемых жидкостей без явного учета капиллярных сил.

**Капиллярные силы, которыми мы пренебрегаем, неявным образом учитываются через относительные проницаемости для фаз.

Хотя, мы пренебрегаем капиллярными силами, но не явно их учитываем в относительных фазовых проницаемостях для фаз:

=+ = -

(15)

Подставляем (15) в (14):

= (16)

i = н, в

Или можно записать в следующем виде:

i = в

- обозначим как F(S)

(17)

В этом случае:

=F(S) · (17)'

= (1 – F(S)) · (18)

F(S) = - Формула Баклея-Леверетта