Тема 5 Показатели вариации

Вариация — это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени. (Например, работники фирмы различаются по доходам, за­тратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.)

Вариация имеет важное значение для характеристики надежности средней величины. Средняя величина при­знака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом — эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом — велика, это имеет весьма

К показателям вариации относятся:

1 Размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

R =Xmax - Xmin.

2 Среднее линейное отклонение представляет собой сред­нюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдель­ных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: (х-).

Среднее линейное отклонение:

для несгруппированных данных , (8) где п - число членов ряда;

для сгруппированных данных , (9)

где ∑f - сумма частот вариационного ряда

В формулах (8) и (9) разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль - алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической).

3 Дисперсия показывает меру колеблимости признака в абсолютных величинах. Она вычисляет­ся по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимо­сти от исходных данных).

Используют три способа расчёта дисперсии.

1 Способ. • простая дисперсия для несгруппированных данных

(10)

• взвешенная дисперсия для вариационного ряда применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

(11)

2 Способ. Формулу для расчета дисперсии (5.20) можно преобразовать, учитывая, что

или

(12)

т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариан­тов и квадрата их средней.

Дисперсию в вариационных рядах с равными интервалами можно рассчитать по способу моментов:

4 Среднее квадратическое отклонение равно корню квад­ратному из дисперсии:

для несгруппированных данных , (13)

для вариационного ряда . (14)

Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая ха­рактеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные ва­рианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокуп­ность и тем более типичной будет средняя величина.

5 Коэффициент вариации представляет собой меру колебимости признака в относительных величинах, (%)

. (15)

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количест­венно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.