diplom25 / suslov_ibragimov_ekonometrika
.pdf392 |
Глава12.Сглаживание временного ряда |
которые могут быть определены раз и навсегда и зависят только от длины отрезка скольжения и степени полинома.
Для определения коэффициентов a0, a1, . . . , ap полинома(12.1)с помощью МНК по первым (2m + 1) точкам минимизируется функционал:
|
m |
|
|
ε = |
! |
(xt − a0 − a1t − . . . − ap tp )2. |
(12.2) |
|
t=−m
Заметим,что t принимает условные значения от −m до m.Это весьма удобныйприем,существенноупрощающийрасчеты.Дифференцированиефункционала по a0, a1, . . . , ap дает систему из p + 1 уравнения типа:
m |
m |
m |
|
m |
m |
! |
! |
! |
tj +2 + ááá + ap |
! |
! |
a0 |
tj + a1 |
tj +1 + a2 |
tj +p = |
xttj , |
|
t=−m |
t=−m |
t=−m |
|
t=−m |
t=−m |
j = 0, 1, . . . , p. (12.3)
Решение этой системы уравнений относительно неизвестных параметров
a0, a1, . . . , ap (i = 0, 1, . . . , 2p) облегчается тем,что все суммы |
m |
ti при |
|
t=−m |
|
нечетных i равны нулю.Кроме того,т.к.полином,подобранный по |
%2m + 1 точ- |
кам,используется для определения значения тренда в средней точке,а в этой точке t = 0,то,положив в уравнении(12.1) t = 0,получаем значение тренда,равное a0. Стало быть,задача сглаживания временного ряда сводится к поиску a0.
Система нормальных уравнений(12.3),которую нужно разрешить относительно a0, разбивается на две подсистемы:однуÑсодержащую коэффициенты с четными индексами a0, a2, a4, . . .,другуюÑвключающую коэффициенты с нечетнымииндексами a1, a3, a5, . . ..Решениесистемыотносительно a0 зависитотчис-
m |
m |
ленных значений %t=−m ti и линейных функций от x типа |
%t=−m xt tj . |
В итоге,значением тренда в центральной точке отрезка будет средняя арифметическая,взвешенная из значений временного ряда от x−m до xm cвесовыми коэффициентами βt , которые зависят от значений m и p:
a0 = !m βt xt .
t=−m
Указаннаяформулаприменяетсядлявсехпоследующихотрезковскольжения,свычислением значений тренда в их средних точках.
Продемонстрируем рассматриваемый метод на примере полинома второй степени и длины отрезка скольжения,равной пяти точкам.Здесь надо свести к минимуму сумму:
ε = !2 (xt − a0 − a1t − a2t2)2.
t=−2
396 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава12.Сглаживание временного ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
5/2 0 c0 |
2 |
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
0 |
5 |
|
c1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
2 ,2 t= |
|
|
2 |
− t= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
− |
|
− |
2 . |
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
5 |
0 |
|
c |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
! |
|||||||||||
det M = |
2 |
|
|
|
2 |
= 25 |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t2 |
|
|
x . |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
det M |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
a0 = |
1 |
|
= |
|
|
|
,17 |
|
|
|
|
|
xt − 5 |
|
|
xt t2 |
., |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
det M |
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 = |
det M2 |
|
= |
|
1 |
|
! |
xt t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
det M |
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 = |
det M3 |
= |
|
1 |
|
! |
xt t2 |
|
1 |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
xt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
det M |
|
|
|
14 |
|
|
|
7 |
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 = |
3 |
|
|
|
|
+ |
12 |
x−1 + |
17 |
x0 + |
12 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
x−2 |
|
|
|
|
|
x1 − |
|
|
x2 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
35 |
35 |
35 |
35 |
35 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a1 = −0, 2x−2 − 0, 1x−1 + 0, 1x1 + 0, 2x2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x1 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x−2 |
− |
|
|
x−1 |
− |
|
x0 − |
|
|
|
|
x2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
14 |
7 |
14 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
и каждый из этих коэффициентов получается как взвешенная средняя из уровней временного ряда,входящих в отрезок.
Оценкипараметров a1, a2, . . . , ap необходимы длявычислениязначенийтренда в первых m и последних m точках временного ряда,поскольку рассмотренный способ сглаживания ряда через a0 сделать это не позволяет.
Размерность матрицы M определяется степенью полинома: (p + 1) × (p + 1), пределы суммирования во всех формулах задаются длиной отрезка скольжения. Следовательно,для выбранных значений p и m можно получить общее решение в виде вектора (a0, a1, . . . , ap )!.
Свойства скользящих средних
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
1. Сумма весов βt в формуле a0 = |
% |
βt xt равна единице. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t=−m |
|
|
|
|
|
Действительно,пусть все значения временного ряда равны одной и той же |
||||||||||||
константе c.Тогда |
|
m |
βt xt = c |
|
m |
βt |
должна быть равна этой константе |
|||||
|
t=−m |
|
t=−m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||
c,а это возможно |
только в том случае,если |
|
t=−m βt = 1. |
|
|
|||||||
|
% |
|
|
% |
|
|
|
,т.е. |
βt = β−t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
нулевого значения |
|
||||
2. Веса симметричны относительно |
|
% |
|
t |
|
398 |
Глава12.Сглаживание временного ряда |
значения к первоначальным данным.При этом,помимо тенденции могут воспроизводиться и случайные колебания,наруш ающие ее смысл.И наоборот,чем ниже степень полинома и чем длиннее отрезок скольжения,тем более гладкой является сглаживающая кривая,тем в большей мере она отвечает свойствам тенденции, хотя ошибка аппроксимации будет при этом выше.
В принципе,если ставится задача выявления тренда,то,с учетом особенностей покомпонентного разложения временного ряда,следует ориентироваться не на минимальнуюостаточнуюдисперсию,анастационарностьостатков,получающихся после исключения тренда.
12.2.Экспоненциальное сглаживание
Кроме метода скользящей средней как способа фильтрации временного ряда известностьюпользуетсяэкспоненциальноесглаживание,восновекотороголежит расчет экспоненциальных средних.
Экспоненциальная средняя рассчитывается по рекуррентной формуле:
st = αxt + βst−1, |
(12.4) |
где st Ñзначение экспоненциальной средней в момент |
t, |
α Ñпараметр сглаживания(вес последнего наблюдения), 0 < α< 1,
β = 1 − α.
Экспоненциальную среднюю,используя рекуррентность формулы(12.4),можно выразить через значения временного ряда:
s |
t |
= αx + β(αx |
t−1 |
+ βs |
t−2 |
) = αx + αβx |
t−1 |
+ β2s |
t−2 |
= . . . = |
|
|
||
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= αxt + αβxt−1 + αβ2xt−2 + . . . + αβj xt−j + . . . + αβt−1x1 + βts0 = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= α |
j! |
|
+ βts |
, (12.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βj x |
t−j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t Ñколичество уровней ряда, s0 Ñнекоторая величина,характеризующая начальные условия для первого применения формулы(12.4)при t = 1.В качестве s0 можно использовать первое значение временного ряда,т.е. x1.
Так как β < 1,то при t → ∞ величина βt → 0,а сумма коэффициентов
αt%−1 βj → 1. j =0
Действительно,
∞ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
j! |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
β |
= (1 − β)1 |
− |
β |
= 1. |
||
α βj = α |
|
|
||||||
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12.2.Экспоненциальное сглаживание |
|
|
399 |
Тогда последним слагаемым в формуле(12.5)можно пренебречь и |
|||
∞ |
|
∞ |
|
j! |
|
! |
(1 − α)j xt−j . |
st = α βj xt−j |
= α |
|
|
=0 |
|
j =0 |
Таким образом,величина st оказывается взвешенной суммой всех уровней ряда,причем веса уменьшаются экспоне нциально,по мере углубления в историю процесса,отсюда названиеÑ экспоненциальная средняя.
Несложно показать,что экспоненциальная средняя имеет то же математическое ожидание,что и исходный временной ряд,но меньшую дисперсию.
Что касается параметра сглаживания α,то чем ближе α к единице,тем менее ощутимо расхождение между сглаженным рядом и исходным.И наоборот,чем меньше α,тем в большей степени подавляют ся случайные колебания ряда и отчетливее вырисовывается его тенденция.Экспоненциальное сглаживание можно представить в виде фильтра,на вход которого поступают значения исходного временного рядя,а на выходе формируется экспоненциальная средняя.
Использование экспоненциальной средней вкачестве инструмента выравнивания временного ряда оправдано в случае стационарных процессов с незначительным сезонным эффектом.Однако многие процессы содержат тенденцию,сочетающуюся с ярко выраженными сезонными колебаниями.
Довольно эффективный способ описания таких процессовÑ адаптивные сезонные модели,основанные на экспоненциальном сглаживании.Особенность адаптивных сезонных моделей заключается в том,что по мере поступления новой информации происходит корректировка параметров модели,их приспособление, адаптация к изменяющимся во времени условиям развития процесса.
Выделяют два вида моделей,которые можно изобразить схематично:
1.Модель с аддитивным сезонным эффектом ,предложенная Тейлом и Вей-
джем(Theil H., Wage S.): |
|
xt = ft + gt + εt , |
(12.6) |
где ft отражает тенденцию развития процесса, gt , gt−1, . . . , gt−k+1 Ñаддитивные коэффициенты сезонности; k Ñколичество опорных временных интервалов (фаз)в полном сезонном цикле; εt Ñбелый шум.
2.Модель с мультипликативным сезонным эффектом ,разработанная Уин-
терсом(Winters P.R.): |
|
xt = ft á mt á εt , |
(12.7) |
где mt , mt−1, . . . , mt−k+1 Ñмультипликативные коэффициенты сезонности.
12.2.Экспоненциальное сглаживание |
401 |
Примеры графиков для некоторых типов адаптивных сезонных моделей |
|
a)б) |
|
xt |
xt |
t |
t |
Модель с аддитивным ростом |
Модель с экспоненциальным ростом |
и мультипликативным сезонным эффектом |
и аддитивным сезонным эффектом |
Рис. 12.1.Графики некоторых типов временных рядов
Адаптация всех перечисленных параметров осуществляется с помощью экспоненциального сглаживания:
gt = αg (xt − ft) + (1 − αg )gt−k ,
mt = αm xt + (1 − αm )mt−k ,
ft
ct = αc (ft − ft−1) + (1 − αc )ct−1,
rt = αr ft + (1 − αr )rt−1,
ft−1
где 0 < αg , αm, αc , αr < 1.
Первые две формулы представляют собой линейную комбинацию текущей оценки коэффициента сезонности,получ енной путем устранения из исходного уровня процесса значения тренда( xt − ft и xt/ft ),и оценки этого параметра на аналогичной фазе предшествующего цикла( gt−k и mt−k ).Аналогично,две последние формулы являются взвешенной суммой текущей оценки коэффициента роста(соответственно,аддитивного ft − ft−1 и экспоненциального ft/ft−1) и предыдущей его оценки( ct−1 и rt−1).
Очевидно,что в случае отсутствия тенденции и сезонного эффекта получается простая экспоненциальная средняя:
ft = αf xt + (1 − αf )ft−1.