§ 95. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля

1. Энергия системы неподвижных точеч­ных зарядов. Электростатические силы взаимодействия консервативны (см. § 83); следовательно, система зарядов обладает

потенциальной энергией. Найдем потенци­альную энергию системы двух неподвиж­ных точечных зарядов Q₁ и Q₂, находя­щихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (см. (84.2) и (84.5)):

W₁=Q_l₁, W₂=Q₂₂₁,

где ₁₂ и ₂₁ — соответственно потенциа­лы, создаваемые зарядом Q₂. в точке на­хождения заряда q₁ и зарядом Q₁ в точке нахождения заряда Q₂. Согласно (84.5),

поэтому

W₁=W₂=W и

W=Q₁₁₂=Q₂₂₁=¹/₂(Q₁₁₂+Q₂₂₁).

Добавляя к системе из двух зарядов по­следовательно заряды Q₃, Q₄, ..., можно убедиться в том, что в случае n непод­вижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

где _i — потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q_i, всеми за­рядами, кроме i-го.

2. Энергия заряженного уединенного проводника. Пусть имеется уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны Q, С, . Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный провод­ник, затратив на это работу, равную

dA=dQ=Cd.

Чтобы зарядить тело от нулевого потенци­ала до , необходимо совершить работу

. Энергия заряженного проводника рав­на той работе, которую необходимо со-

152

вершить, чтобы зарядить этот проводник: W=C²/2=Q/2=Q²/(2C). (95.3)

Формулу (95.3) можно получить и из того, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Полагая потенциал проводника равным , из (95.1) найдем

3. Энергия заряженного конденсато­ра. Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна

W = C ()²/2=Q/2=Q²/(2C), (95.4)

где Q — заряд конденсатора, С — его ем­кость,  — разность потенциалов между обкладками.

Используя выражение (95.4), можно найти механическую (пондеромоторную) силу, с которой пластины конден­сатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х меж­ду пластинами меняется, например, на величину Ах. Тогда действующая сила со­вершает работу

dA=Fdx

вследствие уменьшения потенциальной энергии системы

Fdx=-dW,

откуда

F=dW/dx. (95.5)

Подставив в (95.4) выражение (94.3), по­лучим

Производя дифференцирование при кон­кретном значении энергии (см. (95.5) и (95.6)), найдем искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

4. Энергия электростатического поля.

Преобразуем формулу (95.4), выражаю­щую энергию плоского конденсатора по­средством зарядов и потенциалов, вос­пользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C = ₀/d) и раз­ности потенциалов между его обкладками ( =Ed). Тогда получим

где V=Sd — объем конденсатора. Форму­ла (95.7) показывает, что энергия кон­денсатора выражается через величину, ха­рактеризующую электростатическое по­ле,— напряженность Е.

Объемная плотность энергии электро­статического поля (энергия единицы объема)

w=W/V=₀E²/2 = ED/2. (95.8)

Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого

выполняется соотношение (88.2): Р=₀Е.

Формулы (95.4) и (95.7) соответствен­но связывают энергию конденсатора с за­рядом на его обкладках и с напряженно­стью поля. Возникает, естественно, вопрос о локализации электростатической энер­гии и что является ее носителем — заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и обусловившие их заряды неотделимы друг от друга. По­этому электростатика ответить на постав­ленные вопросы не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать обо­собленно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в простран­стве в виде электромагнитных волн, спо­собных переносить энергию. Это убеди­тельно подтверждает основное положение теории близкодействия о локализации энергии в поле и что носителем энергии является поле.

153

Контрольные вопросы

• В чем заключается закон сохранения заряда? Приведите примеры проявления этого за­кона.

• Запишите, сформулируйте и объясните закон Кулона,

• Какие поля называются электростатическими?

• Что такое напряженность Е электростатического поля? Каково направление вектора напря­женности Е? Единица напряженности в СИ.

• Что такое электрический диполь? Как направлено плечо диполя?

• Пользуясь принципом суперпозиции, найдите в поле двух точечных зарядов +Q и +2Q, находящихся на расстоянии l друг от друга, точку, где напряженность поля равна нулю.

• Чему равно отношение напряженностей электрических полей в точке А, лежащей на продолже­нии оси диполя, и в точке В, лежащей на перпендикуляре, проходящем через середину О оси этого диполя, если ОA=ОВ?

• В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакуу­ме?

• Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности зарядов?

• Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток Ф_E сквозь эту поверхность? Почему?

• Как доказать, что электростатическое поле является потенциальным?

• Что называется циркуляцией вектора напряженности?

• Дайте определения потенциала данной точки поля и разности потенциалов двух точек поля. Каковы их единицы?

• Приведите графики зависимостей Е (r) и fi (r) для равномерно заряженной сферической по­верхности. Дайте их объяснение и обоснование.

• Какова связь между напряженностью и потенциалом? Выведите ее и объясните. Каков физиче­ский смысл этих понятий?

• Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?

• В чем различие поляризации диэлектриков с полярными и неполярными молекулами?

• Определите, чему равна диэлектрическая проницаемость при построении рис. 135.

• Как определяется вектор электрического смещения? Что он характеризует?

• Сформулируйте теорему Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.

• Выведите и прокомментируйте условия для векторов Е и D на границе раздела двух диэлектри­ческих сред.

• Каковы напряженность и потенциал поля, а также распределение зарядов внутри и на по­верхности заряженного проводника?

• На чем основана электростатическая защита?

• Три одинаковых конденсатора один раз соединены последовательно, другой — параллельно. Во сколько раз и когда емкость батареи будет больше?

• Выведите формулы для энергии заряженного конденсатора, выражаемые через заряд на обкладках конденсатора и через напряженность поля.

• Может ли электростатика ответить на вопрос: где локализована энергия и что является ее

носителем — заряды или поле? Почему?

Задачи

11.1. Два заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускаются в керосин плотностью 0,8 г/см³. Какова должна быть плотность материала шариков, чтобы угол рас­хождения нитей в воздухе и керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина =2. [1,6 г/см³]

11.2. На некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью =1,5 нКл/см² расположена круглая пластинка. Плоскость пластинки составля­ет с линиями напряженности угол =45°. Определить поток вектора напряженности через эту пластинку, если ее радиус r=10 см. [1,88 кВ•м]

154

11.3. Кольцо радиусом r=10 см из тонкой проволоки равномерно заряжено с линейной плотностью =10 нКл/м. Определить напряженность поля на оси, проходящей через центр кольца в точке А, удаленной на расстояние а = 20 см от центра кольца. [1 кВ/м]

11.4. Шар радиусом R=10 см заряжен равномерно с объемной плотностью =5 нКл/м³. Опреде­лить напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r₁=2 см от центра шара; 2) на расстоянии r₂=12 см от центра шара. Построить зависимость Е (r). [1) 3,77 В/м; 13,1 В/м]

11.5. Электростатическое поле создается положительно заряженной бесконечной нитью с постоян­ной линейной плотностью =1 нКл/см. Какую скорость приобретет электрон, приблизившись под действием поля к нити вдоль линии напряженности с расстояния r₁=2,5 см до r₂=1,5 см? [18 мм/с]

11.6. Электростатическое поле создается сферой радиусом R=4 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью =1 нКл/м². Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r₁,=6 см и r₂=10 см. [1,2 В]

11.7. Определить линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля по перемещению заряда Q=l нКл с расстояния r₁=10 см до r₂=5 см в направлении, пер­пендикулярном нити, равна 0,1 мДж. [8 мкКл/м]

11.8. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено парафином (=2). Расстояние между пластинами d=8,85 мм. Какую разность потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность связанных зарядов на парафине составляла 0,05 нКл/см²? [500 В]

11.9. Свободные заряды равномерно распределены с объемной плотностью =10 нКл/м³ по шару радиусом R=5 см из однородного изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемо­стью =6. Определить напряженность электростатического поля на расстояниях r₁=2 см и r₂=10 см от центра шара. [E₁ = l,25 В/м; E₂=23,5 В/м]

11.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом (=7). Расстоя­ние между пластинами d=5 мм, разность потенциалов U=500 В. Определить энергию поляризованной стеклянной пластины, если ее площадь S=50 см². [6,64 мкДж]

11.11. Плоский воздушный конденсатор емкостью С= 10 пФ заряжен до разности потенциалов U=1 кВ. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между пластинами конденсатора было увеличено в два раза. Определить: 1) разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин. [1) 2 кВ; 2) 5 мкДж]

11.12. Разность потенциалов между пластинами конденсатора U=200 В. Площадь каждой пласти­ны S = 100 см², расстояние между пластинами d= 1 мм, пространство между ними заполнено парафином (=2). Определить силу притяжения пластин друг к другу. [3,54 мН]