- •Глава 1
- •§ 1. Модели в механике. Система отсчета. Траектория, длина пути, вектор перемещения
- •§ 2. Скорость
- •§ 3. Ускорение и его составляющие
- •§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение
- •Глава 2
- •§ 5. Первый закон Ньютона. Масса. Сила
- •§6. Второй закон Ньютона
- •§ 7. Третий закон Ньютона
- •§ 8. Силы трения
- •§ 9. Закон сохранения импульса. Центр масс
- •§ 10. Уравнение движения тела переменной массы
- •Глава 3 Работа и энергия
- •§11. Энергия, работа, мощность
- •§ 12. Кинетическая и потенциальная энергии
- •§ 13. Закон сохранения энергии
- •§ 14. Графическое представление энергии
- •§ 15. Удар абсолютно упругих и неупругих тел
- •Глава 4
- •§ 16. Момент инерции
- •§ 17. Кинетическая энергия вращения
- •§ 18. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
- •§ 19. Момент импульса и закон его сохранения
- •§ 20. Свободные оси. Гироскоп
- •§21. Деформации твердого тела
- •Глава 5
- •§ 22. Законы Кеплера.
- •§ 23. Сила тяжести и вес. Невесомость
- •§ 24. Поле тяготения и его напряженность
- •§ 25. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения
- •§ 26. Космические скорости
- •§ 27. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •Глава 6
- •§ 28. Давление в жидкости и газе
- •§ 29. Уравнение неразрывности
- •§ 30. Уравнение Бернулли и следствия из него
- •§ 31. Вязкость (внутреннее трение). Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей
- •§ 32. Методы определения вязкости
- •§ 33. Движение тел в жидкостях и газах
- •Глава 7
- •§ 34. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности
- •§ 35. Постулаты специальной (частной) теории относительности
- •§ 36. Преобразования Лоренца
- •§ 37. Следствия из преобразований Лоренца
- •§ 38. Интервал между событиями
- •§ 39. Основной закон релятивистской динамики материальной точки
- •§ 40. Закон взаимосвязи массы и энергии
- •Глава 9
- •§ 50. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул
- •§51. Первое начало термодинамики
- •§ 52. Работа газа при изменении его объема
- •§ 53. Теплоемкость
- •§ 54. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам
- •§ 55. Адиабатический процесс. Политропный процесс
- •§56. Круговой процесс (цикл). Обратимые и необратимые процессы
- •§ 57. Энтропия, ее статистическое толкование и связь с термодинамической вероятностью
- •§ 58. Второе начало термодинамики
- •§ 59. Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его к. П. Д. Для идеального газа
- •Глава 10
- •§ 60. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия
- •§61. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •§ 62. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их анализ
- •§ 63. Внутренняя энергия реального газа
- •§ 64. Эффект Джоуля — Томсона
- •§ 65. Сжижение газов
- •§ 66. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение
- •§ 67. Смачивание
- •§ 68. Давление под искривленной поверхностью жидкости
- •§ 69. Капиллярные явления
- •§ 70. Твердые тела. Моно- и поликристаллы
- •§71. Типы кристаллических твердых тел
- •2. Физический признак кристаллов.
- •§ 72. Дефекты в кристаллах
- •§ 73. Теплоемкость твердых тел
- •§ 74. Испарение, сублимация, плавление и кристаллизация. Аморфные тела
- •§75. Фазовые переходы I и II рода
- •§ 76. Диаграмма состояния. Тройная точка
- •Глава 11
- •§ 77. Закон сохранения электрического заряда
- •§ 78. Закон Кулона
- •§ 79. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля
- •§ 80. Принцип суперпозиции электростатических полей, Поле диполя
- •§81. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
- •§ 82. Применение теоремы Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме
- •4. Поле объемно заряженного шара. Шар
- •§ 83. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля
- •§ 84. Потенциал электростатического поля
- •§ 85. Напряженность как градиент потенциала. Эквипотенциальные поверхности
- •§ 86. Вычисление разности потенциалов по напряженности поля
- •§ 87. Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков
- •§ 88. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике
- •§ 89. Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
- •§ 90. Условия на границе раздела двух диэлектрических сред
- •§91. Сегнетоэлектрики
- •§ 92. Проводники в электростатическом поле
- •§ 93. Электрическая емкость уединенного проводника
- •§ 94. Конденсаторы
- •§ 95. Энергия системы зарядов, уединенного проводника и конденсатора. Энергия электростатического поля
- •4. Энергия электростатического поля.
- •Глава 12 Постоянный электрический ток
- •§ 96. Электрический ток, сила и плотность тока
- •§ 97. Сторонние силы. Электродвижущая сила и напряжение
- •§ 98. Закон Ома. Сопротивление проводников
- •§ 99. Работа и мощность тока. Закон Джоуля — Ленца
- •§ 100. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- •§ 101. Правила Кирхгофа для разветвленных цепей
- •Глава 13
- •§ 102. Элементарная классическая теория электропроводности металлов
- •§ 103. Вывод основных законов электрического тока в классической теории электропроводности металлов
- •§ 104. Работа выхода электронов из металла
- •§ 105. Эмиссионные явления и их применение
- •§ 106. Ионизация газов. Несамостоятельный газовый разряд
- •§ 107. Самостоятельный газовый разряд и его типы
- •§ 108. Плазма и ее свойства
- •Глава 21
- •§ 165. Основные законы оптики. Полное отражение
- •§ 166. Тонкие линзы. Изображение предметов с помощью линз
- •§ 167. Аберрации (погрешности) оптических систем
- •§ 168. Основные фотометрические величины и их единицы
- •§ 169. Элементы электронной оптики
- •Глава 22
- •§ 170. Развитие представлений о природе света
- •§ 171. Когерентность и монохроматичность световых волн
- •§ 172. Интерференция света
- •§ 173. Методы наблюдения интерференции света
- •§ 174. Интерференция света в тонких пленках
- •2. Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной толщины).
- •§ 175. Применение интерференции света
- •Глава 23
- •§176. Принцип Гюйгенса — Френеля
- •§ 177. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света
- •§ 178. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске
- •§ 179. Дифракция Фраунгофера на одной щели
- •§ 180. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке
- •§ 181. Пространственная решетка. Рассеяние света
- •§ 182. Дифракция на пространственной решетке. Формула Вульфа — Брэггов
- •§ 183. Разрешающая способность оптических приборов
- •§ 184. Понятие о голографии
- •Глава 26 Квантовая природа излучения
- •§197. Тепловое излучение и его характеристики
- •§ 198. Закон Кирхгофа
- •§ 199. Законы Стефана — Больцмана и смещения Вина
- •§ 200. Формулы Рэлея — Джинса и Планка
- •§201. Оптическая пирометрия.
- •1. Радиационная температура — это
- •§202. Виды фотоэлектрического эффекта. Законы внешнего фотоэффекта
- •§ 203. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Экспериментальное подтверждение квантовых свойств света
- •§ 204. Применение фотоэффекта
- •§ 205. Масса и импульс фотона. Давление света
- •§ 206. Эффект Комптона и его элементарная теория
- •§ 207. Диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электромагнитного излучения
- •7 Элементы физики
- •Глава 32
- •§251. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое числа
- •§ 252. Дефект массы и энергия связи ядра
- •§ 253. Спин ядра и его магнитный момент
- •§ 254. Ядерные силы. Модели ядра
- •§ 255. Радиоактивное излучение и его виды
- •§ 256. Закон радиоактивного распада. Правила смещения
- •§ 257. Закономерности -распада
- •§258. -Распад. Нейтрино
- •§ 259. Гамма-излучение и его свойства
- •§ 260. Резонансное поглощение -излучения (эффект Мёссбауэра)
- •§ 261. Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц
- •§ 262. Ядерные реакции и их основные типы
- •§ 264. Открытие нейтрона. Ядерные реакции под действием нейтронов
- •§ 265. Реакция деления ядра
- •§266. Цепная реакция деления
- •§267. Понятие о ядерной энергетике
- •§ 268. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций
- •1.1. Электрический заряд. Закон Кулона
§ 40. Закон взаимосвязи массы и энергии
Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы (материальной точки). Раньше (§ 12) было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:
dT = dA или dT=Fdr. (40.1)
69
Учитывая, что dr = vdt, и подставив в (40.1) выражение (39.2), получим
Преобразовав данное выражение с учетом того, что vdv=vdv, и формулы (39.1), придем к выражению
т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.
Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя то, то, проинтегрировав (40.2), получим
Т=(m-m0)с2, (40.3)
или кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид
Выражение (40.4) при скоростях v<<с переходит в классическое:
T = m0v2/2
(разлагая в ряд (1-v2/с2)-1/2= 1 +1/2Xv2/c2+3/8v4/c4+... при v<<с, правомерно
пренебречь членами второго порядка малости).
А. Эйнштейн обобщил положение (40.2), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энергии, а именно: любое изменение массы m сопровождается изменением полной энергии материальной точки,
E=с2m. (40.5) Отсюда А. Эйнштейн пришел к универсальной зависимости между полной энергией тела Е и его массой m:
Уравнение (40.6), равно как и (40.5), выражает фундаментальный закон природы— закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.
Закон (40.6) можно, учитывая выражение (40.3), записать в виде
Е = m0с2 + Т,
откуда следует, что покоящееся тело (Т = = 0) также обладает энергией
Е0=m0с2,
называемой энергией покоя. Классическая механика энергию покоя Е0 не учитывает, считая, что при v=0 энергия покоящегося тела равна нулю.
В силу однородности времени (см. § 13) в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т. е: не изменяется с течением времени.
Из формул (40.6) и (39.4) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом частицы:
Возвращаясь к уравнению (40.6), отметим еще раз, что оно имеет универсальный характер. Оно применимо ко всем формам энергии, т. е. можно утверждать, что с энергией, какой бы формы она ни была, связана масса
m=Е/с2 (40.8)
70
связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), рассматривают энергию связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро—на протоны и нейтроны). Энергия связи системы
где m0i — масса покоя i-й частицы в свободном состоянии; m0 — масса покоя системы, состоящей из n частиц.
Закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.
Рассматривая выводы специальной теории относительности, видим, что она, как, впрочем, и любые крупные открытия, потребовала пересмотра многих установившихся и ставших привычными представлений. Масса тела не остается постоянной величиной, а зависит от скорости тела; длина тел и длительность событий не являются абсолютными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.
Эту ломку укоренившихся представлений некоторые буржуазные философы пытались использовать для распространения двух разновидностей идеализма: энергетизма и философского релятивизма. Первая из этих теорий рассматривала возможность преобразования массы в энергию и, наоборот, энергии в массу, «доказывая» «эквивалентность материи и энергии». Закон взаимосвязи массы и энергии действительно утверждает, что любые превращения энергии тела сопровождаются изменениями его массы, однако при этом масса не «переходит в энергию». Закон взаимосвязи массы и энергии является подтверждением неразрывности материи и движения — одного из основных положений диалектического материализма.
Философский релятивизм считает, что наше познание относительно и зависит «от выбора точки зрения наблюдателя». Однако из постулатов и следствий теории Эйнштейна относительность нашего познания не вытекает. Тот факт, что длина тел и длительность событий в разных инерциальных системах отсчета различны, не дает оснований считать, что объективное описание окружающего нас мира невозможно. В. И. Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм» писал: «Человеческие представления о пространстве и времени относительны, но из этих относительных представлений складывается абсолютная истина, эти относительные представления, развиваясь, идут по линии абсолютной истины, приближаются к ней. Изменчивость человеческих представлений о пространстве и времени так же мало опровергает объективную реальность того и другого, как изменчивость научных знаний о строении и формах движения материи не опровергает объективной реальности внешнего мира» (Полн. собр. соч. Т. 18. С. 181).
Основной вывод теории относительности сводится к тому, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи — пространство-время. Только поэтому пространственно-временной интервал между двумя событиями является абсолютным, в то время как пространственные и временные промежутки между этими событиями относительны. Следовательно, вытекающие из преобразований Лоренца следствия являются выражением объективно существующих пространственно-временных соотношений движущейся материи.
71
Контрольные вопросы
• В чем физическая сущность механического принципа относительности?
• В чем заключается правило сложения скоростей в классической механике?
• Каковы причины возникновения специальной теории относительности?
• В чем заключаются основные постулаты специальной теории относительности?
• Зависит ли от скорости движения системы отсчета скорость тела? скорость света?
• Запишите и прокомментируйте преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?
• Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе преобразований Лоренца?
• Одновременны ли события в системе К', если в системе К они происходят в одной точке и одновременны? в системе К события разобщены, но одновременны? Обосновать ответ. Какие следствия вытекают из специальной теории относительности для размеров тел и длительности событий в разных системах отсчета? Обосновать ответ.
При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25%?
• В чем состоит «парадокс близнецов» и как его разрешить?
• В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей? Как показать, что он находится в согласии с постулатами Эйнштейна?
• Как определяется интервал между событиями? Доказать, что он является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
• Какой вид имеет основной закон релятивистской динамики материальной точки? Чем он отличается от основного закона ньютоновской механики? В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса? релятивистской массы?
• Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике? При каком условии релятивистская формула для кинетической энергии переходит в классическую формулу? Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность? Приведите примеры его экспериментального подтверждения.
Задачи
7.1. Определить собственную длину стержня (длину, измеренную в системе, относительно которой стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с измерительными приборами) его скорость v=0,8 с, длина l=1 м и угол между ним и направлением
7.2. Собственное время жизни частицы отличается на 1,5% от времени жизни по неподвижным часам. Определить =v/с. [0,172]
7.3. Тело с массой покоя 2 кг движется со скоростью 200 Мм/с в системе К', которая сама движется относительно системы К со скоростью 200 Мм/с. Определить: 1) скорость тела относительно системы K; 2) его массу в этой системе. [ 1) 277 Мм/с; 2) 5,2 кг]
7.4. Воспользовавшись тем, что интервал — инвариантная величина по отношению к преобразованиям координат, определить расстояние, которое пролетел -мезон с момента рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчета t=5 мкс, а собственное время жизни (время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом) t0=2,2 мкс. [ 1,35 км ]
7.5. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в пять раз. [0,98 с]
7.6. Определить скорость, полученную электроном, если он прошел ускоряющую разность потенциалов 1,2 МэВ. [2,86 Мм/с]
7.7. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого 1 Гэв. [5,34•10-19 Н•с]
* Х.Лоренц (1853—1928) —нидерландский физик-теоретик.