2.1 Пунктінде стерженнің бір нүктеде топталған массасымен біркелкі стержендердің көлденең тербелісті жиіліктерін анықтау есебі.

1.2 пунктте көрсетілгендей,стерженнің тербелісі топталған массаның моделі мына теңдеумен көрсетіледі.

мұндағы

.

Шекаралық шарттар

(1.2.7)

(1.2.8)

(1.2.9)

(1.2.10)

Сондай–ақ, топталған масса келесі ішкі шекаралық шарттармен ескеріледі.

(1.2.3)

Мұндағы

(1.2.4)

(1.2.5)

(1.2.6)

мұндағы функциясының нүктесіндегі секірісі

болса, теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:

Стерженнің ақырының сол жақ ұшы (1.2.7)-(1.2.8) шарттардан шығады, мұндағы

(1.2.7.)

(1.2.8)

Содан шығатыны

Демек

болғанда, теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз

Стерженнің оң жақ ұшы (1.2.9)-(1.2.10) ішкі шарттардан шығады, мұндағы

(1.2.9)

(1.2.10)

Олай болса бізде

Енді табу үшін шарттарын ескереміз .Ол үшін келесі өрнекті жазып аламыз. шарттан

Нәтижесінде алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз.

Нәтижесінде эквиваленттік жүйе аламыз

Бұл жерден өзара қатынас жазуға болады

мұндағы және еркін тұрақтылар.. және табу үшін ішкі шекаралық

шарттарды қолданамыз

Осы жерден біздің характеристикалық анықтауышымыз мынаған тең:

меншікті мәні келесі шекаралық есепке сәйкес болады.. Осылайша ең бірінші теңдеудің характеристикалық анықтауышының нөлдерін анықтап алып,содан кейін мына формулаға қоямыз.

2. Стерженнің көлденең тербелісінің нүктелік серпінді байланысы.

3. бөлімде көрсетілгендей, стерженнің нүктелік тербелісінің серпінді байланысы келесі теңдеумен модельдесек:

(1.3.2)

мұндағы

шекаралық шарттары

(1.3.7)

(1.3.8)

(1.3.9)

(1.3.10)

Серпінді күшінің бар болуы, пружинаның қаттылығы құрайтындай келесі ішкі шекаралық шарттармен ескеріледі

(1.3.3)

(1.3.4)

(1.3.5)

(1.3.6)

Бұдан байқайтынымыз қарапайым дифференциалдық оператордың жоғарғы реті (1.3.3)-(1.3.6) ішкі шекаралық шарттарымен жазылады [14].II-ші ретті қарапайым дифференциалдық оператордың туындалатын биортогональды түбірлес функциясы зерттеледі[15].

үшін, теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:

Стерженнің сол жақ ұшы (1.3.7)-(1.3.8) шарттардан шығады,мұндағы :

Осы екі шекаралық шартты пайдаланып ,содан шығатыны

Олай болса бізде

Егер де үшін теңдеуді мына түрде іздейміз:

Стерженнің оң жақ ұшы (1.3.9)-(1.3.10) шарттардан шығады,мұндағы

осы екі шекаралық шарттарды пайдаланып біздің алатынымыз

Олай болса бізде

Шешімін мына түрде іздейміз:үшін,

Ал егерде үшін ,шешім .

(1.3.4) және (1.3.6) ішкі шекаралық шарттардан шығады:

Нәтижесінде алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз.

Бұл жерден эквиваленттік жүйе аламыз

Осыдан өзара қатынас жазуға болады

мұндағы және еркін тұрақтылар. және анықтауыштарын алуға (1.3.5)-(1.3.3.)— ішкі шекаралық шарттарын қолданамыз.

Нәтижесінде алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз

және - ға қатысты біртекті алгебралық теңдеулер жүйесін, (2.2.1) өзара қатынасын есептеп аламыз.

Бұл жерден характеристикалық анықтауыш мынадай түрде болатыны көрініп тұр.

меншікті мәні келесі шекаралық есепке сәйкес болады.. Осылайша ең бірінші теңдеудің характеристикалық анықтауышының нөлдерін анықтап алып,содан кейін мына формулаға қоямыз.

2.3 Стерженнің көлденең тербелісінің секіртпелі өзгеру жиілігін есептеу.

1.4 бөлімде көрсетілгендей, стерженнің тербелісі үшін секіртпелі өзгерісінің теңдеуінің модельін осылай жазып едік :

(1.4.2)

мұндағы

шекаралық шарттары

(1.4.7)

(1.4.8)

(1.4.9)

(1.4.10)

Серпінді күшінің бар болуы, пружинаның қаттылығы құрайтындай келесі ішкі шекаралық шарттармен ескеріледі

(1.4.3)

(1.4.4)

(1.4.5)

(1.4.6)

Ішкі шекаралық шарттар Лаплас операторы үшін жазылғанын байқаймыз [16].

үшін теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:

Стерженнің ақырының сол жақ ұшы (1.4.7)-(1.4.8) шығады, мұндағы

Осы екі шекаралық шартты пайдаланып ,содан шығатыны

Олай болса бізде

үшін теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз:

Стерженнің ақырының оң жақ ұшы (1.4.9)-(1.4.10) шарттардан шығады, мұндағы

Осы екі шартты пайдаланып ,содан шығатыны

Олай болса бізде

Шешімін мына түрде іздейміз:үшін

үшін .

Тура 2.2 бөлім сияқты мұнда да

мұндағы және еркін тұрақтылар.. және табу үшін ішкі шекаралық

шарттарды қолданамыз.

және тұрақты шамалар деп есептейміз, яғни -қа тәуелді емес. шамасы тәуелді емес.Нәтижесінде алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз.

және мағыналарын -пен алмастырып, және -ға байланысты біртекті алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз.

мұндағы:

.

Бұл жерде характеристикалық анықтауыш мынадай екені шығады:

меншікті мәні келесі шекаралық есепке сәйкес болады.. Осылайша ең бірінші теңдеудің характеристикалық анықтауышының нөлдерін анықтап алып,содан кейін мына формулаға қоямыз.