1. Стержендердің көлденең тербелісі

кезіндегі ұзындықты стерженнің көлденең тербелісінің теңдеуі мына түрде жазылады:

1. - сурет – стерженнің көлденең қимасы

Егер серпімділік теориясын жазсақ, онда стержен жағдайында қатысуы керек және сәйкес дифференциалдық теңдеулер екінші ретті болады [11].

Әдетте шынайы болжам себебінен -тен құтылады, бірақ осыған сәйкес теңдеулер реті өседі. Сонымен қатар дифференциалдық теңдеу реті әртүрлі болжамдар кезінде (Кирхгова-Лява , Тимошенко) әртүрлі шамаға өсуі мүмкін. Бұл жұмыста біз таңдаған жағдайда дифференциалдық теңдеу реті 4-ке тең [12].

Әрі қарай бізге теңдеуге кіретін шамалардың физикалық мағынасы қажет (1.1.1).

- материал тығыздығы;

- көлденең қима ауданы;

–көлденең ауыспалылық; поперечное перемещение;

- Юнг модулі;

–бейтарап оське қатысты көлденең қима ауданының инерция моменті;

- көлденең қуат (жүктеме); поперечная нагрузка.

Стерженнің еркін көлденең тербелісі жағдайына сәйкес келеді. Әрі қарай біз стерженнің еркін тербелісіне байланысты есептерді зерттейміз, яғни бізде барлық жерде. Әдетте, стерженнің шеттері қандай да бір түрде бекітіледі. Стерженнің шеттерінің бекітілу түріне байланысты әртүрлі аймақтық шарттар бар. Стерженнің шеттерін бекітудің бірнеше мысалдарын келтірейік (1.2.2 - сурет)

1.2.2-сурет – тербелмелі стерженді бекітудің әртүрлі түрлері

1.2.3 - сурет

Біріншіжағдайдастерженніңсолжақшетіқаттықысылыптұр,алоңжақшетібос:

Екінші жағдайда стерженнің екі жағы да топсалы бекітілген:

.

Үшінші жағдайда стерженді ек жағынан да серпілмелі бекіту жүзеге асқан.

Мұнда стерженнің сол жақ шетін сипаттау кезінде шамасынакөлденең күші пайда болады, мұндағы– серіппе қаттылығының коэффициенті.Олай болса, сол жақ шетінде .

Стерженнің оң жақ шетінде тірек реакциясы пайда болады

.

Сөйтіп, егер стерженнің екі шеті де серпілмелі бекітілсе, онда келесідей аймақтық шарттар туындайды:

Төртінші жағдайда стерженнің сол жақ шеті топсалы бекітілген, ал оң жақ шеті серпілмелі бекітілген:

Жоғарыда жазылған аймақтық шарттар локальды аймақтық шарттар болып табылады, яғни бұл шарттар бір нүктеге шектеу қояды. Сондай-ақ екі шетінің мәнін байланыстыратын локальды емес аймақтық шарттар туындауы мүмкін. Мысалға, 1.1.3- суретінде стерженнің оң және сол жақ шеттері арасындағы байланыс күшімен созылған арқанның көмегімен жүзеге асады. Бұл жағдайда аймақтық шарттар келесідей түрде болады:

,

.

1.1.3-сурет – локальды емес аймақтық шарттар және олардың орындалуы

1.1.4-суретінде қиынырақ аймақтық шарттар келтірілген, мұндағы байланыс арқанның және бірнеше серіппелердің көмегімен іске асады. Бұл жағдайда егер стерженнің сол және оң жақ шеттері серпілмелі бекітілсе, онда локальды емес аймақтық шарттар мына түрде болады:

.

1.1.4-сурет – Серіппе және арқанның көмегімен аймақтық шарттардың орындалуы

2. Топталған массалар кезіндегі стержендердің көлденең тербелісі

Шынайы конструкцияларда стержендегі топталған массалардың есеп мәселесі жиі туындайды. Топталған масса тұрған нүктеде стерженнің көлденең тербеліс теңдеуі бұзылады. Дегенмен, бұл нүктеден солға және оңға көлденең тербелістерінің теңдеуі сақталады. Масса топталған нүктеде не болады?

Бұл бөлімде қойылған сұраққа жауап беріледі. Әрине, стерженнің көлденең тербелістерінің жиілігі топталған масса мен топталмаған масса арасында айтарлықтай бөлінеді. Стерженнің эксплуатациясы кезінде сыртқы әсерлердің ықпалынан топталған масса шамасы өзгеруі мүмкін екендігін ескерген жөн. Нәтижесінде тербеліс жиілігі де өзгереді. Өзгерген жиілік бойынша топталған масса шамасын талдауға болады, яғни диагностика жүргізуге болады.

Ұзындығы стерженнің шетіндегі Юнг модулімен,бейтарап осіне қатысты көлденең қима ауданының инерция моментімен, материал тығыздығыменжәне көлденең қима ауданыменбекітуін қарастырамыз. Тіректенқашықтықтағы стерженмассасымен толтырылған (1.3.1 -сурет).

1.3.1-сурет – толтырылған массасының көмегімен ішкі аймақтық шарттардың орындалуы

Стерженнің көлденең тербелістерінің теңдеуін жазу үшін стерженнің ауытқусыз осьімен сәйкес келетін осьін аламыз. Көлденең аз ауытқуарқылы көрсетіледі. Ауытқу қалпындағы стержен элементіне инерция күшінен басқа,массасын құратын топталған күш әрекет етеді. Сондықтан күш көрінісі келесідей болады:

Мұндағы -нүктесінде топтасқан өте белгілі Дирактың дельта-функциясы.

Соңғы арақатынастан

шығады.

Сонымен қатар нүктесінде келесідей шарттар орындалатынын ескерейік

Сондықтан жылжыту, (қуат, күш, кернеу) күш және момент бұл нүктеде үзіліссіз болып қалады.

Қарапайымдылық үшін, стерженнің шеттерінде келесідей аймақтық шарттар бар деп есептейміз:

Түптеп келгенде, басқа аймақтық шарттар таңдауға болады. Шешімін келесідей түрде іздейміз

Бұл жағдайда

Онда стерженнің көлденең тербелістерінің бастапқы теңдеуі −кезінде мына түрде қайта жазылады

(1.2.1)

туындысынан шығатыны:

Және де сәйкес аймақтық шарт мынадай түр қабылдайды:

анықталған константалар болған жағдайда, келесідей түрдегі ұзындығы стержен бойындағы спектрлік есепті аламыз:

(1.2.2)

(1.2.3)

(1.2.4) (1.2.5)

(1.2.6)

(1.2.7)

(1.2.8)

(1.2.9)

(1.2.10)

Осында және бұдан былай барлық жерде мағынасынүктесіндегіфункциясының өзгеруін білдіреді.

Арқылы белгілейміз.

Онда қарастырылып отырған дифференциалдық теңдеу келесідей түрде болады: