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Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Рустюмова Тригонометрия

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1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

ГЛАВА IV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЛОК 1. УПРОСТИТЕ, ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ:

(

)

1) sin2 (270° -a ) + sin2 (360° -a )

cos2 180° -a

1- cos(270° -a )

æ p

×sina

sin (p - 2a )

cos 2a + cosç

-a ÷

1+ cos 2a

æ p

cos2 (270° -a )

sin ç

1- sin2

1- cos 180° +a

)

(270° +a )

(

)

(

)

cos

-a

1- sin

(

)

× cos 180° +a

180° +a

sin 2a

sin (-a )×sin (90° +a )

æ p

1- sin

æ p

2cos

×sin

×tg (p -a )

- 2a ÷

-a ÷

è 2

10)

sin135°×cos 210°×tg240°

ctg300°

11)sin (90° +a )×sin (270° -a ) + cos(a - 90°)×sin (a -180°)

æ 3p

×cos(p +a )

æ 3p

sin ç

-a ÷

×ctg ç

12)

tg (2p -a )

13)

tg (2p -a )×cos(p -a )

æ 3p

÷ ×cos

è 2

sin (p -a )

×cos

æ p

-a ÷

×ctg ç

+a ÷

14)

tg (2p -a )

15) 8sin105°×sin15° - 3tg209°×tg299° + 2

158

		æ 7p	ö					3p
16)	sin ç		- 2a ÷ ×cos(3p -a )×sina ; a =
16)	sin ç		- 2a ÷ ×cos(3p -a )×sina ; a =
	è 2		ø					16
			æ			p	ö
		sin (p -a )×tg ça -				2	÷
17)			è			2	ø
17)		æ 3p	ö	(p -a )
		æ 3p	ö
		cosç	+a ÷ ×ctg
	è 2		ø
18)	sin 225° - cos495° - tg330° - ctg600°
			æ 3p				ö
		sin (p -a )×ctg ç		2	+a ÷
19)			è	2			ø
19)			æ p				ö
			æ p				ö
		tg (2p -a )×cosç		2	+a ÷
			è	2			ø

20)cos3p × cos103p × cos133p

sin3 (a - 270°)×cos(a - 360°)

21)tg3 (a - 90°)×cos3 (a - 270°)


22)		cos2 (270° +a )		+	cos2 (-a )
		tg2 (a - 360°)			tg2 (a - 270°)
				(		)
23)	sin (180° -a ) -			cos2 180° +a
				cos(270° -a )
24)	sin (90° +a ) -		cos2 (a - 90°)
			sin (a + 270°)

25) 2sin1320°×ctg (-780°) - 3cos(-900°)

	æ	13p	ö	- ctg (6p +a )
	sin ç	2	-a ÷	- ctg (6p +a )
26)	è	2	ø
26)		1+ sin (2p -a )
		1+ sin (2p -a )

27)sin æça - p ö÷ ×cosa - sin2 (p -a )×sin2 a - cos2 (p -a )×cos2

è2 ø

28)2sin æça - 5p ö÷ ×sin (a - 9p ) - sin (3p - 2a )

è2 ø

æ 3p		ö
ç		+a ÷
	2
è		ø

159

																	æ p	-a			ö
					sin (-a )										tg ç			-a			÷
29)					sin (-a )						-					è 2					ø
29)				cos		æ p	+a			ö	-					æ 3p					ö
				cos		ç	+a			÷				tg ç					+a ÷
						è 2				ø						è 2					ø
30)				sin (0,5p +a ) + cos(p - 3a )
30)							1- cos(-2a )
							1- cos(-2a )
																								ОТВЕТЫ
1) 1																10)			3 6						17) 1
2)	cosa																		3 6						18) 0
2)	cosa																			4					18) 0
3)	tg2a																			4					19) -1
3)	tg2a															11)			-1						19) -1
4)	ctga															11)			-1						1
4)	ctga															12)					2	a			1
																12)			cos			a			20)		4
5)	1- sina															13) -tga									21) cosa
6)	tga															14)			-sin			2	a		21) cosa
6)	tga																					2			22) 1
7)	1- cosa
																15) 7
																15) 7										1
8)	ctga																			2					23)	1
8)	ctga															16)				2					23)	sina
9)	-2sin2 a															16)				8
БЛОК 2. УПРОСТИТЕ:
																									А
1)			sin (-a )×tg (-a )

		cos(-a )×ctg (-a )
	æ					2				1						ö			2					2
2)	ç1				+ tg a +											÷ ×sin				a ×cos					a
2)	ç1				+ tg a +				sin			2	a			÷ ×sin				a ×cos					a
	è								sin				a			ø
3)				sina			+	1- cosa
3)	1- cosa						+
	1- cosa									sina
						(									)	- sin2 a
4)	cos2 a × 1+ tg2a															- sin2 a

	5)	2sin2 a -1
	5)	sina + cosa
		sina + cosa

6)cos2 a - sin2 a - tga ×cosa cosa - sina

24)cos1a

25)4

26)-ctga

27)-1

28)0

29)2

30)2cosa

160

(cosa + sina )2 -1

7)ctga - sina ×cosa

8)2sina - sin 2a 2sina + sin 2a

9)sin2 a + sin2 a × cos2 a + cos4 a

10)sin2 a ×(1+ ctga ) + cos2 a ×(1+ tga )

11)cos4 2a - sin4 2a

12)(ctga + tga )2 - (ctga - tga )2

13)tg æç p +a ö÷ ×tg æç p -a ö÷

è4 ø è 4 ø

14)(1+ cos 2a )×tga

15)(sin 2a + 3cos 2a )2 + (cos 2a - 3sin 2a )2

16)sin4 a + cos2 a - cos4 a

a - 1- 2cos2 a

17) tg

sina ×cosa

18)2cos2 a2 - cosa

19)sin 2a + sin10a ×ctg6a cos 2a + cos10a

20)1+ tg2a + tg2 2a 1+ ctg2a + ctg2 2a

21)11+- coscosaa ×tg2 a2 - cos2 a

	1+ tg4 2a	1
22)		-
	tg2 2a + ctg2 2a		cos2 2a

23)sina + sin 3a cosa + cos3a

24)ctg2 2a -1 - cos8a ×ctg4a

2ctg2a

161

4sina × cos 2a


25)		sin4 a - cos4 a + cos2 a
25)		2 1- cosa					)
	(						)
26)		1- cos 2a + sin 2a
26)	1+ cos 2a + sin 2a
	1+ cos 2a + sin 2a
27)	2		- ctg2a

		sin 4a
28)		tga		+		ctga
28)	1+ tg2a			+	1	+ ctg2a
	1+ tg2a				1	+ ctg2a
29)		4sina × cos3 a - 2sin 2a ×sin2 a

30)sin 2a + cos 2a cosa sina

31)cosa ×(1+ cos-1 a + tga )(1- cos-1 a + tga )

32)

ç1+

×sin2 a

2 æ p

ö ÷

÷ ÷

ø ø

ö2

33)

çsina +

+ ç cosa +

- tg a - ctg a

cosa

sina ø

34)

æ p

-a

æ p

-a

sin ç

×sin ç

+a ÷

- cosç

+a ÷

×cosç

è 4

35)

1- cosa × cos b 2 - sin2 a ×sin2 b

36)sin-1 a + tg-1a

37)(sina + sin b )2 + (cosa + cos b )2

38)	sin2 a	+	sina + cosa		- sina
38)	sina - cosa	+	1	- tg2a	- sina
	sina - cosa		1	- tg2a
39)	tg2a ×tga
39)	tg2a - tga
	tg2a - tga

40) sin (0,5p + 3a ) - cos(-5a )

41) sin2 (b - 45°) - cos2 (b - 45°) sin 2b

162

42)

sin 6a

cos(6a -p )

sin 2a

cos 2a

43)

tg (a + b ) - tga - tgb

× ctgb

tga ×tg (a + b )

44)

æ p

a ö

1- sina

tg ç

cosa

2 ø

45)

cos 4a -

sin 4a

- cos 2a + 2cos2 a

tg2a

46)

1- 2sin2 a

1- tga

1+ sin 2a

1+ tga

47)1- sin4 a - cos4 a - 2tg2a cos4 a

48)2 cosa - 2sin (45° -a ) (60° +a ) - 3 cosa2sin

49)1- cosa + cos 2a sina - sin 2a

50)cosa - 2sin 3a - cos5a sin 5a - 2cos3a - sina

		æ p		- 2a	ö	æ p		- 2a	ö		2	2a
51) cosç			3	- 2a	÷	×sin ç	6	- 2a	÷ + sin			2a
	è		3		ø	è	6		ø
									ОТВЕТЫ
1)	-tg3a							18) 1
2) 1								19) 1
2) 1								20)	tg2 2a
3)	2							20)	tg2 2a
	2								sin2 a
								21)
		sina						21)
4)	cos2 a							22)	-1
5)	sina - cosa							23)	tg2a
5)	sina - cosa							24)	sin 8a
6)	cosa							24)	sin 8a
7)	2tg2a							25)	cos	2 a
	tg2 a							25)	cos	2
8)	tg2 a							26)	tga
	2							27)	tg2a
								27)	tg2a

35)cosa - cos b

36)ctg a2

37)4cos2 æ a - b ö

ç÷

è 2 ø

38)cosa

39)sin 2a

40)sin 2a

41)-1

42)2

43)1

163

9) 1													28) sin 2a
10)		(sina + cosa )2											29) sin 4a
11)		cos 4a											1
													30)
12)		4											30)	sina
13)		1											31) 2sina
14)		sin 2a											32) tg2a
15)		10											33) 7
16)		sin2 a											33) 7
16)		sin2 a											34) 0
17)		ctga
БЛОК 3. ВЫЧИСЛИТЕ:
															А
1)				3 cos			7p		+ cos(-480°)
1)				3 cos		6			+ cos(-480°)
						6
2)	sin				2p		+ cos p					- tg p
2)	sin						+ cos p					- tg p
		3								4		4
3)	cos2 15° - 4sin2 97,5°×cos2 97,5°
						æ		5p ö
4)				3 cos		ç -				÷		- sin 570°
4)				3 cos		ç -		6		÷		- sin 570°
						è		6		ø
5)	tg p + sin							5p			+ cos p
5)	tg p + sin							6			+ cos p
		6						6				3
6)	8sin15°× cos165°×sin 300°
7)		1		cos(-330°)×tg690°
7)				cos(-330°)×tg690°
		4
8)	tg p - sin							2p			- cos p
8)	tg p - sin							3			- cos p
		3						3				6
9)	(cos2 67,5° - sin2 67,5°)- sin2 225°
10)				sin 46° - sin 44°
10)			cos44° - cos46°
			cos44° - cos46°
11)			cos72° + cos12°
11)				sin12° - sin 72°
				sin12° - sin 72°
12)			cos155° - cos35°
12)				sin155° + sin 35°
				sin155° + sin 35°

44)1

45)0

46)0

47)0

48)2

49)-ctga

50)tg3a

51)0,25

164

13)8sin 37°30¢× cos37°30¢× cos75°

14)sin4 15° + cos4 15°

15)sin (30° -a ) + sin (30° +a )

cos 3p

×cos p - sin

3p ×sin p

16)

æ p

+ b

è 4

17)

cos2 15° - cos2 75°

18)

2tg75°

1- tg2 75°

19)

tg2 9° -1

2tg9°

cos

×cos

+ sin

×sin

20)

sin

×cos

+ cos

×sin 4p

21)

cos75° + cos15°

22)

3 +

tg15° - tg60°

1+ tg15°×tg60°

23)

ctg135°×sin 210°×cos 225°

24)

2cos2 48° -1

sin186° - sin 6°

25)

1- 2sin2 43°

sin176° + sin 4°

26)

ctg (112°30¢)

27)

sin 50°× cos 200° - cos 230°×sin 20°

28)

tg110° + ctg20°

29)

sin 35° + cos65°

2cos5°

30)

sin p ×cos p ×tg p ×ctg

165

31)sin 70°×sin 50°×sin10°

32)1- 4sin10°×sin 70° 2sin10°

33)		1- 2sin 45° 2 -			1- 2cos 45° 2
34)		tg60° - 2 2 -		ctg30° - 2 2
35)	cos105°
36)	cos15°
37)	tg75°
38)		cos70°×cos10° + cos80°×cos 20°
38)		cos68°×cos8° + cos82°×cos 22°
		cos68°×cos8° + cos82°×cos 22°
39)	cos2 3° + cos2 123° + cos2 117°
40)	cos 20°× cos 40°×cos80°
41)	- cos10° +		sin2 10°
41)	- cos10° +		2sin2 5°
			2sin2 5°
42)	sin 50° + sin 40°×tg20°
43)	(tg60°×cos15° - sin15°)× 7 2

44)cos92°× cos73° - sin 92°×sin 73°

45)ctg35° - tg35° - 2tg20°

46)sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61°

ОТВЕТЫ

1)	-2			16) 0
2)		3 + 2 - 2		17)		3
2)	2			17)	2
	2				2
3)		3		18)	-		3
3)	2			18)	-	3
	2					3
4)	-1			19)	-ctg18°
5)	3 + 3			20)				p

	3				cos 30
	3				cos 30
6)	3			21)		6
						6
	1				2
	1
7)	-
7)	-		8	22) 2

31)18

32)1

33)0

34)0

35)2 (1- 3)

36)2 (1+ 3)

37)2 + 3

38)1

166

8)	0						23)		-2,5													39)		1,5
9)		-		2 -1			24)		0,5													40)			1
9)				2			25)		0,5													40)		8
				2			25)		0,5															8
10) 1							26) 1-						2									41)		1
11) -				3			27)		-0,5													42)		1
11) -				3			28)		0													43)		14
12) -				3			28)		0													43)		14		2 (1+		3)
12) -				3						1														-
13) 1							29)			1												44)		-
13) 1							29)		2
14)			7																								4

											2											45)		0
		8					30)
		8
15) cosa											4											46)		sin1°
БЛОК 4.
													А
1)	Вычислите 4sin2 a - 2cosa -												3tga +1									, если ctga = -					1	; a Î II .
1)	Вычислите 4sin2 a - 2cosa -												3tga +1									, если ctga = -					3	; a Î II .
																											3
2)	Вычислите 2tga ×sina + 8cos2 a + 4 , если ctga =																								1	;	a Î I .
2)	Вычислите 2tga ×sina + 8cos2 a + 4 , если ctga =																							3		;	a Î I .
																								3
3)	Вычислите tga , если tg a										=		2 .
									2
4)	Вычислите tg a , если cosa = -													3		.
4)	Вычислите tg a , если cosa = -													5		.
					2									5
5)	Вычислите					2sina - sin 2a						, если			tg a							= 1.
5)	Вычислите											, если			tg a							= 1.
						2sina + sin 2a								2
6)	Вычислите				tga + ctga			, если ctga =										3		.
6)	Вычислите							, если ctga =												.
					tga - ctga									2
7)	Вычислите				sina ×cosa						, если tga =											3	.
7)	Вычислите				sin2 a - cos2 a						, если tga =											2	.
					sin2 a - cos2 a																	2
8)	Вычислите				1+ tg2a		, если sina =								2		.
8)	Вычислите				1+ ctg2a		, если sina =							3			.
					1+ ctg2a									3
9)	Вычислите				1- tg2a		, если cosa = -												1		.
					1- ctg2a									3

167

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