Глава 2. Функциональные последовательности и ряды

1. Поточечная и равномерная сходимость.

Пусть { fn}+∞n=1 — последовательность функций, определенных на некотором промежутке I . Говорят, что эта последовательность сходится в точке x0 I , если числовая последовательность { fn (x0 )}+∞n=1 является схо-

дящейся. Говорят, что последовательность { fn}+∞n=1 сходится на промежутке I поточечно, если она сходится в каждой точке x I . Полагая в

дела сходящейся числовой последовательности, эта функция определяется исходной функциональной последовательностью единственным образом. Говорят, что данная функциональная последовательность поточечно сходится к функции f . Наличие такого соотношения записывается следую-

щим образом: fn (x) → f (x), x I .

Проанализируем данное определение. Для каждой точки x I по любому ε > 0 найдется такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство | fn (x) − f (x) |<ε . Отметим, что число N зависит как от числа ε , так и

от выбранной точки x . Если для любого ε > 0 можно найти число N , обладающее указанными свойствами и не зависящее от x , говорят, что данная функциональная последовательность сходится к функции f равномер-

но на промежутке I . Приведем точное определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть { fn}+∞n=1 — последовательность функций, определенных на промежутке I , f — функция, определенная на этом проме-

жутке. Говорят, что указанная последовательность равномерно сходится на промежутке I к функции f , если по любому ε > 0 найдется такое N , что

для всех n ≥ N и всех x I выполняется неравенство | fn (x) − f (x) |<ε . Наличие такого соотношения записывается следующим образом:

I

fn (x) f (x) , x I или fn f .

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Очевидно, что из равномерной сходимости на множестве I вытекает поточечная сходимость на этом множестве. Обратное утверждение, как мы увидим ниже на примерах, вообще говоря, неверно.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Условие равномерной сходимости на множестве I может быть записано следующим образом:

равенство | fn (x) − f (x) |<ε . Отсюда следует, что

su p| fn (x) − f (x) |≤ε, n ≥ N.

x I

Полученное соотношение означает, что выполняется условие ( ). Аналогично из условия ( )выводится равномерная сходимость рассматриваемой последовательности.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Рассмотрим произвольную сходящуюся числовую последовательность {an}+∞n=1. Ее можно рассматривать как последовательность

функций, определенных на произвольном промежутке I и принимающих постоянные значения. Очевидно, что эта функциональная последовательность будет также сходится на этом промежутке, причем равномерно.

ЗАДАЧА. Дать прямое определение того, что последовательность { fn}+∞n=1 не сходится равномерно к функции f .

ЗАДАЧА. Сформулировать определения сходимости в точке, на промежутке и равномерной сходимости на промежутке, пользуясь языком кванторов.

Приведем некоторые примеры.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим последовательность функций fn (x) = 1n sin(nx) , n =1, 2, …,

определенных на всей вещественной оси . Очевидно, что для любого вещественного x выполняется равенство nlim→+∞ fn (x) = 0 , то есть данная по-

следовательность поточечно сходится к нулевой функции. Покажем, что сходимость данной последовательности к нулевой функции является равномерной. Воспользуемся оценкой

Выберем произвольное ε > 0. Из полученной оценки следует, что если

точек x , это по определению и означает наличие равномерной сходимости к нулевой функции.

Можно провести анализ несколько в иной форме, воспользовавшись формулировкой из замечания 2. Равномерная сходимость следует из соотношений

бражены на следующем рисунке.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим последовательность функций fn (x) = xn , x [0,1), n =1, 2,… .

Мы знаем, что lim xn = 0 для x [0,1), то есть данная последовательность

n→+∞

поточечно сходится на рассматриваемом промежутке к нулевой функции. Покажем, что эта сходимость не является равномерной. Обозначим через f функцию, определенную на промежутке [0,1) и тождественно рав-

ную нулю.

Выберем произвольное ε , удовлетворяющее условию 0 <ε <1, возьмем любое натуральное значение n и найдем, для каких значений x [0,1)

выполняется неравенство | fn (x) − f (x) |<ε . В данном случае последнее неравенство принимает вид xn <ε , что равносильно условию x < nε . Учитывая, что nε <1, получаем, что при любом значении n неравенство

| fn (x) − f (x) |<ε

выполняется не для всех x [0,1). Это означает, что сходимость данной последовательности функций к нулевой функции не является равномерной.

что функции fn принимают неотрицательные значения и непрерывны на

отрезке [0,1], совпадает с величиной max fn (x) . Найдем наибольшее зна-

0≤x≤1

чение функции fn на отрезке [0,1]. Функция fn дифференцируема на отрезке [0,1]. Поэтому свое наибольшее значение она принимает либо на од-

ном из концов отрезка, либо во внутренней стационарной точке, то есть в точке x , удовлетворяющей условию fn′(x) = 0 , 0 < x <1. Из соотношения

fn′(x) = nxn−1 −(n +1)xn

Следовательно, lim sup | fn (x) |= 0 , и сходимость является равномерной.

n→+∞0≤x≤1

ПРИМЕР 4. Пусть fn (x) = xn − x2n , 0 ≤ x ≤1, n .

В этом случае f (x) = nlim→+∞ fn (x) = 0 для всех x [0,1]. Находим стационарные точки функции fn . Соотношение fn′(x) = 0 переписываем в ви-

де nxn−1 − 2nx2n−1 = 0 , откуда получаем, что единственной внутренней ста-

при n → +∞. Поэтому сходимость функций fn к нулевой функции равномерной не является.

Графики функций xn − x2n при n =1, 2 , 3 и 4 изображены на следующем рисунке.

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно доказать отсутствие равномерной сходимости в предыдущем примере по следующей схеме. Рассмотрим функцию

ϕ(x) = x − x2 , 0 ≤ x ≤1.

Из соотношения ϕ(x) = x(1− x) следует, что эта функция обращается в

ноль на концах отрезка и принимает положительные значения во всех его внутренних точках. При любом натуральном значении n отображение

x → xn взаимно-однозначно отображает отрезок [0,1] на себя. Поэтому

что и говорит об отсутствии равномерной сходимости к нулю. Приведенная схема рассуждений может быть перенесена на случай последовательности функций

fn (x) = xαn − xβn , 0 ≤ x ≤1, n =1,2, ,

где α , β — постоянные, 0 <α < β . Здесь также будет иметь место поточечная, но не равномерная сходимость к нулевой функции.

Отметим следующие простые свойства равномерно сходящихся последовательностей функций.

I

1) Равномерная сходимость fn f равносильная условию

I

fn − f 0 .

I I I

2) Если fn f , gn g , то fn ± gn f ± g .

I

3) Если fn f , g — произвольная функция, определенная на про-

I

межутке I , то fn + g f + g .

I

4) Если fn f , ϕ — ограниченная функция, определенная на про-

I

межутке I , то ϕ fn ϕ f .

Приведем теперь необходимое и достаточное условие равномерной сходимости функциональной последовательности.

ТЕОРЕМА 1 (КРИТЕРИЙ КОШИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ). Пусть { fn}+∞n=1 — последовательность

функций, определенных на промежутке I . Эта последовательность является равномерно сходящейся на этом промежутке в том и только том случае, когда для любого числа ε > 0 найдется такое значение N , что для всех n ≥ N , p =1, 2 , … и всех x I выполняется неравенство

| fm (x) − fn (x) |<ε.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Предположим, что последовательность { fn}+∞n=1 равномерно сходится на промежутке I к функции f . Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое число N , что для всех n ≥ N и всех x I выпол-

няется неравенство | fn (x) − f (x) |< ε2 . Тогда для тех же значений n и всех p =1, 2 , … выполняется неравенство n + p > N и, следовательно, для про-

2.Докажем обратное утверждение. Предположим, что для любого

ε> 0 найдется такое N , что для всех n ≥ N , p =1, 2 , … и произвольного

xI выполняется неравенство | fn+p (x) − fn (x) |<ε . Отсюда следует, что