Глава 1. Функции нескольких переменных

1. Предварительные определения

Напомним некоторые определения из курса алгебры. Пусть n . Через n будем обозначать множество всех векторов-строк

a = (a1,a2, ,an ),

где a1 , a2 , …, an — произвольные вещественные числа. Сами эти векторы будем иногда называть точками, а числа a1 , a2 , …, an — координатами

точки. Множество 1 отождествляется с вещественной прямой . Обычно в этой главе рассматривается случай n >1. К случаю n =1 мы будем обращаться только для иллюстрации вводимых понятий.

В n вводятся операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число по следующим формулам:

(x1, x2, , xn ) + (y1, y2, , yn ) = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn ),

α(x1, x2, , xn ) = (αx1,αx2, ,αxn ).

Сэтими операциями множество n становится n -мерным вещественным

линейным пространством. Нулевой вектор пространства n , то есть ве к- тор, все координаты которого равны нулю, будем обозначать так же, как и нулевой число символом 0. Что имеется в виду, когда используется подобная запись, число или вектор, всегда должно быть ясно из контекста. Например, в утверждении

для любого x n выполняется равенство 0 x = 0

в левой части имеется в виду число 0, а в правой части — нулевой вектор. Норма (или длина) вектора x = (x1, x2, , xn ) определяется равенст-

вом || x ||= x12 + x22 + + xn2 . Приведем некоторые свойства нормы.

1.Для любого x n выполняется неравенство || x ||≥ 0 , причем равенство || x ||= 0 имеет место тогда и только тогда, когда x = 0.

2.Для любых x n и α имеет место равенство

||αx ||=|α | || x ||.

3.Для любых x , y n имеет место оценка || x + y ||≤|| x || +|| y ||.

Первые два свойства очевидны. Для доказательства третьего свойства будет использовано следующее вспомогательное утверждение.

ны нулю, и требуемое соотношение, очевидно, выполняется. Предположим, что x ≠ 0 и y ≠ 0.

Для a , b ≥ 0 имеем:

Применяем это неравенство к числам a =| xi | , b =| yi |:

Теперь суммируем по i от 1 до n :

Лемма доказана.

Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняков-

ского.

Перейдем теперь к доказательству свойства 3. Воспользуемся равен-

ством

n

= x2 + 2∑xi yi + y2 .

i=1

Оценивая модуль среднего слагаемого в правой части с помощью неравенства Коши-Буняковского, получаем:

|| x + y ||2 ≤|| x ||2 +2 || x || || y || +|| y ||2 = (|| x || +|| y ||)2,

откуда и следует доказываемое утверждение.

Свойство 3 называется неравенством треугольника для нормы. Отметим также следующее важное соотношение: для любого векто-

для которого c =| xi0 |. Тогда для любого i , 1≤i ≤ n выполняется неравенство | xi |≤ c , и

Извлекая квадратный корень, получаем искомое неравенство.

В n можно ввести расстояние между произвольными точками, определяемое так: если

то расстояние ρ(x, y) задается равенством

ρ(x, y) =‖x − y‖= (x1 − y1)2 + (x2 − y2 )2 + + (xn − yn )2 .

Напомним также, что введенное выше расстояние обладает следующими свойствами:

1. для любых x , y n имеет место неравенство ρ(x, y) ≥ 0 ; если

ρ(x, y) = 0, то x = y ;

2.для любых x , y n имеет место равенство ρ(x, y) = ρ(y, x) ;

3.для любых x , y , z n выполняется неравенство

ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) .

Неравенство, указанное в свойстве 3, называется неравенством треугольника. Проверим свойство 3. Для произвольных x , y , z n имеем:

ρ(x, z) =|| x − z ||=|| (x − y) + (y − z) ||≤|| x − y || +|| y − z ||= ρ(x, y) + ρ(y, z).

Введем теперь понятия ε -окрестности точки в n и понятие предела последовательности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть a n , ε > 0. Множество:

Uε (a) ={x : x n‖, x − a‖<ε}.

называется ε -окрестностью точки a .

Множество Uε (a) называется также шаром в пространстве n с центром в точке a и радиусом ε .

ЗАМЕЧАНИЕ. Чуть ниже мы уточним приведенное определение и будем называть введенное множество открытым шаром в пространстве n .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть {xk }+∞k=1 — последовательность точек простран-

ства n . Точку a n называют пределом точек xk при k → +∞, если

lim || xk − a ||= 0.

k→+∞

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Последовательность точек пространства n , которая сходится к некоторой точке a n , называется сходящейся. Как и в случае предела числовой последовательности, элементарно доказывается, что предел сходящейся последовательности определяется ей однозначно.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Определение предела может быть переформулировано одним из следующих способов.

1)Для любого ε > 0 найдется такое K , что для всех k ≥ K выполняется неравенство || xk − a ||<ε .

2)Для любого ε > 0 найдется такое K , что для всех k ≥ K выполняется соотношение xk Uε (a).

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Многие утверждения и определения, касающиеся последовательностей элементов пространства n , совершенно аналогичны случаю числовых последовательностей. Поэтому некоторые из них будут опущены (например, определение подпоследовательности).

Следующее утверждение связывает сходимость последовательности точек пространства n и последовательностей их координат.

ТЕОРЕМА 1. Пусть {xk }+∞k=1 — последовательность точек пространства n ,

Последовательность {xk }+∞k=1 сходится к точке a = (a1,a2, ,an) n

при k → +∞ в том и только том случае, когда для каждого i =1, 2, …, n

рованное утверждение непосредственно вытекает из этого соотношения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество X n называется ограничен-

ным, если существует такая константа M , что для каждого x X выполняется оценка | x |≤ M .

ЗАМЕЧАНИЕ. Легко проверить, что множество M n является ограниченным в том и только том случае, когда для любого i =1, 2, …, n множество всех i -х координат точек множества M является ограниченным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность {xk }+∞k=1 элементов пространст-

ва n называется ограниченной, если множество ее значений ограничено, то есть существует такая константа M , что для всех k n выполняется оценка || xk ||≤ M .

ЛЕММА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА. Из любой ограниченной последовательности элементов пространства n можно выделит сходящуюся подпоследовательность.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {xk }+∞k=1 — ограниченная последовательность элементов пространства n . Введем в рассмотрение координаты точек xk :

xk = (xk(1), xk(2), , xk(n) ).

Для каждого из указанных значений i последовательностей i -х координат {xk(i)}+∞k=1 является ограниченной.

Из ограниченности числовой последовательности {xk(1)}+∞k=1 и леммы Больцано-Вейерштрасса для числовых последовательностей следует, что эта последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность

{x(1)}+∞ . Заменяя исходную последовательность элементов пространст-

nk k=1

ва n ее подпоследовательностью {xnk }+∞k=1, будем считать что у исходной

последовательности элементов пространства n последовательность первых координат является сходящейся. Теперь рассматриваем последовательность вторых координат, то есть последовательность {xk(2)}+∞k=1. Эта последовательность является ограниченной и, следовательно, содержит схо-

дящуюся подпоследовательность {x(2)}+∞ . Снова заменяем последователь-

nk k=1

ность {xk }+∞k=1 ее подпоследовательностью {xnk }+∞k=1. При этом последова-

тельность вторых координат становится сходящейся. Последовательность первых координат останется сходящейся как подпоследовательность сходящейся числовой последовательности. Продолжая этот процесс, мы получим из исходной последовательности элементов пространства n ее сходящуюся подпоследовательность.

Лемма доказана.