2. Детерминированные модели

0. 2.1. Однопродуктовая статическая модель без дефицита

Эту модель можно интерпретировать как модель управления запасами в магазине. Для упрощения задачи рассматривается только один товар. Руководство магазина закупает товар у оптовиков по цене c₁ за единицу товара, если объем закупаемой партии y меньше величины q. В случае, если объем закупаемой партии больше или равен q, делается скидка и цена единицы товара становится равной c₂< c₁. Затраты при закупке товара состоят из двух величин. Условно постоянной величины (например, аренды автомобиля для доставки товара от оптового склада до магазина), будем называть ее стоимостью оформления заказа, и обозначать буквой K. Переменной величины  стоимости закупаемой партии равной c(y)y. Здесь c(y) равно c₁ ,если y < q и равно c₂ , если y  q . В рассматриваемой модели предполагается, что в магазине спрос на товар в единицу времени является величиной постоянной и принимает значение равное .

Магазин также, несет расходы по хранению товара на собственном складе. В каждую единицу времени (час, день ит.д.) эти расходы составляют величину h за каждую единицу товара, находящуюся на складе в эту единицу времени. Можно интерпретировать эту величину как стоимость «омертвления средств» в виде товарного запаса.

После оформления заказа товар поступает на склад магазина через интервал времени длиной t^*.

Руководству нужно определить, какое количество y товара заказывать, и точку заказа R с тем, чтобы суммарные затраты в единицу времени на закупку продаваемого товара и хранение товара на складе было минимальным.

Будем считать, что величина y меняется непрерывно. Это допущение при большом объеме товара не является жестким ограничением. Затраты в рассматриваемом случае будут состоять из суммы трех величин: затрат на приобретение продаваемого товара, затрат на оформление заказа, затрат на хранение товара на собственном складе.

Можно показать [3, с. 9 – 11], что при минимальных затратах новая партия поступает на склад магазина в момент, когда весь товар израсходован. Следовательно, максимальное количество товара на складе равно y в момент поставки. График зависимости количества товара на складе от времени показан на рисунке 2. Ось x  ось времени, а ось y  значение величины запаса на складе.

Вычислим средние затраты в единицу времени S(y). Отметим, что это можно сделать для одного периода [0; D1], так как на остальных периодах все вычисления будут полностью совпадать.

В момент t=0 на складе имеется максимальное количество запаса равное y. В единицу времени расходуется  единиц запаса, следовательно, весь запас будет израсходован за время

 = y/ (1)

y

B

A C F

R

0 E G D1 D2 D3 t

Рис 1

За рассматриваемое время заказ будет оформляться один раз, а расходы на оформление заказа в единицу времени составят

K/ = K/y . (2)

Так как величина запаса будет различной в каждую единицу времени, то и расходы по хранению будут различны. Проведем в 0В D1 среднюю линию AC и опустим перпендикуляр CE .В силу равенства треугольников ABC и ECD1, величина запаса в любой точке левее точки E больше величины 0A=y/2 настолько, насколько меньше этой величины в точке, симметричной относительно E. Поэтому на всем отрезке [0; D1] можно считать, что в среднем хранится величина y/2. Таким образом, для величины средних затрат в единицу времени получаем следующее выражение

S₁(y)= c₁β + K/y + hy/2, (3)

если y<q и

S₂(y)= c₂β + K/y + hy/2 (4)

в противном случае. Здесь первое слагаемое выражает затраты на закупку товара продаваемого магазином в единицу времени. Второе ― затраты на оформление заказа отнесенные к единице времени. Третье ― средние затраты на хранение запаса в единицу времени. Так как первое слагаемое в зависимости от y меняется один раз на постоянную величину, то минимум у этих функций достигается в одной точке.

Найдем минимум этого выражения по величине заказа y. Для этого вычислим производную и приравняем ее нулю.

-K/y² + h/2 = 0. i=1,2 (5)

Из равенства (5) получаем формулу экономичного размера заказа Уилсона

y^*=. (6)

Если бы цена на товар была постоянной (не зависела от объема закупаемой партии), то величина y^* была бы оптимальной. Действительно, вторая производная функции S_i(y) больше нуля в области y0. Следовательно, функция S_i(y) выпуклая в этой области, а точка y^* доставляет минимум этой функции.

В случае разрыва цен величина оптимальной партии y_opt зависит от величины q .

S₁(q)

Если y^*  q , тогда y_opt = y^*. Так как в этом случае при закупке партии в объеме y^* будет получена скидка и суммарные затраты в единицу времени составят наименьшую из всех величину S₂(y^*). Пусть y^* < q , тогда y_opt = q , если q  y₁. Здесь y₁  больший корень уравнения

S₁(y^*) = S₂(y) . (7)

Если же q > y₁ , то y_opt = y^*. Таким образом, если q  y₁ , то выгодно воспользоваться скидкой, в противном случае  нет (смотри рис. 2).

Пусть оптимальный объем заказываемой партии определен и равен y_opt . Точку заказа R определяется из соотношений

R = t^* , t^* <  ;

R = ( t^*-m) ,

где m  целая часть от деления t^* на  , а = y_opt /. Так на рис 1 величина t^* равна длине отрезка [G; D₃]. При этом m=2, а величина R показана на оси y.

Пример 1. Магазин закупает товар для продажи. Ежедневный спрос на товар в магазине  30 единиц (ед.), стоимость хранения одной единицы товара на складе составляет 0.15 денежных единиц (д.ед.), стоимость оформления заказа  100д.ед. Цена одной единицы товара 10 д.ед., если объем закупаемой партии меньше 300 ед. и 8д.ед. в противном случае. Определить объем закупаемой партии и точку заказа, если время выполнения заказа  12 суток.

Решение . Найдем y^*. По формуле (6) получаем

y^*= .

Так как y^*меньше объемаq=300, за который дают скидку, то нужно сравнитьqиy₁ . Найдемy₁, решая уравнение (7).

.

Приводим к общему знаменателю и решаем квадратное уравнение

.

Наибольший корень этого уравнения равен

y₁=+.

Так как y₁>q , тоy_opt=q=300, следовательно,

= y_opt /=300/30 = 10.

Для нахождения точки заказа найдем число m=. Тогда

R=30(12-110)=60.

Ответ.Необходимо заказывать 300 единиц товара, когда на складе останется 60 единиц товара.