0. 3.1. Одноэтапная модель с мгновенным спросом при отсутствии затрат на оформление заказа

Предполагается, что спрос за некоторый период времени, называемый этапом, удовлетворяется сразу в начале этапа. Удовлетворение спроса происходит за счет начального запаса и заказанной продукции, которая поступает на склад так же в начале этапа, чуть ранее момента удовлетворения спроса. Спрос является случайной величиной и имеет известный закон распределения. В зависимости от величины спроса и объема продукции на складе в начале этапа возникают либо излишки продукции (запас), либо нехватка некоторого количества продукции (дефицит). Суммарные затраты за этап складываются из затрат на закупку заказанной продукции, хранении запаса и потерь от дефицита. Введем обозначения:

x  начальный запас продукции на складе;

y  количество закупаемой продукции (величина заказа);

q  максимальный уровень запаса на складе после поставки заказа;

  величина спроса на этапе;

h  стоимость хранения единицы продукции в течении этапа;

p  потери от дефицита единицы продукции в течении этапа;

c  стоимость закупки единицы продукции;

()  функция плотности распределения вероятностей величины спроса.

При заданных величинах q и  величина запаса, который хранится на складе в течение этапа, определяется соотношением

H(q,) = .

Величина дефицита определяется аналогичным равенством

G(q,) = .

Отметим, что величины q,y,x связаны соотношением

q = y+ x (34)

При сделанных предположениях математическое ожидание суммарных затрат на этапе определяется соотношением

M{S(q)} = c(q  x) + h + p =

= c(q  x) + h + p.

Запишем необходимое условие экстремума

= c + h  p = 0 . (35)

Используя свойство функции плотности

= = 1,

из (35) получаем

= (36)

Решая уравнение (36), находим q^*, а затем из соотношения (34) находим оптимальную величину заказа y^* = q^*  x . Отметим, что значение q^* определено только при условии p  c . Если величина y^* получается отрицательной, то полагаем y^* = 0.

Пример. Пусть начальный запас равен 2 единицам, стоимость хранения единицы продукции в течение этапа  0.5 денежных единиц, потери от дефицита одной единицы продукции в течение этапа  4.5 денежных единиц, стоимость закупки одной единицы продукции  0.5 денежных единиц. Функция плотности распределения вероятностей спроса имеет следующий вид

() =

Получаем

, ,

следовательно, из соотношения (36) находим

q^* = 10, y^* = 8.

4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задачи к разделу 2.1

1. Лошадь съедает 1 кг очень полезного корма в день. Очень полезный корм продается в мешках по 20 кг. и доставляется из Москвы в течении 3-х недель с момента размещения заказа. Стоимость хранения мешка корма составляет 5 рублей в день, а затраты на оформление заказа составляют 5000 рублей. Составьте ежемесячный оптимальный план управления запасами, чтобы не оставить голодными 4 лошади

2. Косметический салон выбрал для себя стратегию заказа 500 ед. товара ежемесячно. Товар расходуется в ходе проведения косметических процедур. Затраты салона на оформление заказа составляют 3000 денежных единиц, затраты на хранение одной единицы товара составляют 0,5 денежных единиц в день. При каком спросе на услуги салона, такая стратегия управления запасами будет оптимальной?

3. Кафе заказывает по 40 кг муки ежемесячно для производства печенья, пирожных и тортов собственного приготовления. В день потребляется в 1,2 кг муки. Фиксированная стоимость размещения заказа составляет 15 д.е. Стоимость хранения 1 кг муки 0,01 д.е. в день

Определите: а) оптимальную стратегию управления запасами в предположении, что время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно 1 неделе; b)квартальные затраты кафе на муку, связанные с существующей стратегией создания запаса; с) еженедельную экономию кафе, которая определяется оптимальной стратегией управления запасами муки.

4. Компания знает, что спрос на её продукцию меняется ежемесячно в течение года от 1000 единиц в месяц до 5000 единиц в месяц. Компания ставит перед 2 рабочими группами отдела снабжения разработать стратегию заказа комплектующих изделий. Стоимость хранения одного комплектующего изделия на складе 10 рублей в день. Первая группа предлагает заказывать 100 единиц продукции ежемесячно у поставщика А, затраты на оформление заказа с которым равны 2500 рублей. Вторая группа предлагает заказывать 300 единиц продукции 1 раз в 2 месяца у поставщика В, затраты на оформление заказа с которым равны 3000 рублей. Если бы вы отвечали за разработку стратегии управления запасами, какова была бы ваша рекомендация? С какой вероятностью компания будет применять вторую стратегию? (Рекомендации к решению: следует найти затраты на ед. продукции в единицу времени для стратегий 1-ой и 2-ой группы, а затем определить при каком спросе использовать стратегию 1 или 2.)

5. Эстетический центр пластической хирургии «Молодость» оказывает косметологические услуги, с использованием препарата для подкожных инъекций VFI-5, который потребляется со средней интенсивностью 250 ампул в неделю или 25 упаковок. Все препараты, используемые центром косметологических услуг, производит швейцарская фармацевтическая компания, чем обусловлены достаточно большие расходы на оформление заказа и его доставку. Эти затраты составляют 50000 рублей. Стоимость хранения 1 упаковки (с соблюдением особого температурного режима) составляет 150 рублей в день. Срок выполнения заказа от момента его размещения до момента реальной поставки равен 2 неделям. Определите оптимальную стратегию заказа препарата VFI-5.

6. Фирма решает вопрос об использовании услуг производственного аутсорсинга либо использовании собственных основных фондов. Стоимость заключения контракта на производство нужных компании изделий третьими лицами составляет 10000 рублей, а так же производство каждого изделия обойдётся в 15 рублей за штуку, стоимость хранения метра кубического на складе аутсорсера составляет 8 рубля в день. В метр кубический входит 4 единицы изделия. Собственное оборудование компаний устарела и для соответствия нормам качества компании придется инвестировать в собственное оборудование при каждом его запуске 25000 рублей, однако стоимость производства единицы продукции в таком случае составит 5 рублей, а хранение продукции на собственном складе обойдётся не более 1 рубля за штуку. Потребление изделия фирмой оценивается в 6000 единиц в год. Если предположить, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее – закупать или производить изделия? (Рекомендации: а) оптимальный объем производства округлите до большего целого; б) сравнивать S(y) c учетом c (стоимости производства)).

7. Компания производит сельскохозяйственную продукцию. Выход готового продукта 1 тонна в день; продукт фасуется в мешки по 20 кг. Стоимость хранения одного мешка продукции на собственном складе компании составляет 5 руб в день. Перед компанией стоит вопрос о вывозе своей продукции в магазины региона. Транспортная компания – партнёр компании производителя устанавливает оплату в размере 1000 рублей за аренду грузовика плюс три рубля за перевоз каждого мешка, а так же предлагает скидку в размере 20% от стоимости перевозки одного килограмма, если объём перевозимой продукции превышает 5 тонн. Стоит ли компании воспользоваться скидкой? Изобразите графически изменение количества готовой продукции на складе компании.

8. ОАО «Молочный завод «Волгоградский» производит ежедневно 375 кг сметаны «Софита» 15% в ст. по 0,25 кг. Для данного производства требуется 4,5 кг крахмала модифицированного Emden XVH 1050. Отдел снабжения заказывает крахмал с определенной периодичностью в Московской области. Стоимость килограмма крахмала составляет 55 рублей при заказе менее 200 килограмм, и 45 рублей при заказе от 200 и более килограмм. Стоимость оформления заказа и доставки составляет 10000 рублей. Стоимость хранения одного килограмма крахмала на складе составляет 3 рубля в день. Определите оптимальную страте­гию управления запасами для компании и скажите, необходимо ли ей пользоваться скидкой. Определите оптимальный размер заказа, а также точку возобновления заказа, если поставка осуществляется в течение 7 дней.

9. Спортивный клуб предоставляет своим клиентам питьевую воду, которую заказывает в компании «ФУКС-вода». Клиенты выпивают более 80 литров воды ежедневно, а как известно самая большая бутылка «ФУКС-воды» содержит 20 литров. Складские помещения спортивного клуба не велики и альтернативная стоимость хранение 20-ти литровой бутылки воды составляет 2 рубля в день. Для по­требления «ФУКС-воды» спортивному клубу требуется не менее 4 кулеров. При интенсивном использовании кулер служит не более одного года, а затем его меняют на новый. Стоимость каждого кулера 9000 рублей. Затраты на покупку четырех кулеров в год бухгалтерией считаются как увеличение стоимости заказа одной 20-ти литровой бутылки воды на 20,5%. Стоимость оформления заказа равно 225 рублям. Стоимость одной 20-ти литровой бутылки120 рублей. Компания «ФУКС-вода» предоставляет 4 бесплатных кулера при заказе более 200 штук 20-ти литровых. Месяц = 30 дней. Определите: а) еженедельный и ежемесячный оптимальные планы заказа «ФУКС-воды»; b) стоит ли клубу воспользоваться специальным предложением компании «ФУКС-вода» при ежемесячной стратегии заказа воды?

10. Компания «Русмедупак» производит перчатки. Она заключила контракт на поставку своих изделий для лечебно-профилактических учреждений области на год. Потребность ЛПУ в неделю составляет 100 000 пар перчаток. Компания закупает латекс для производства в Юго-восточной Азии. Для производства одной перчатки требует 20 грамм латекса. Стоимость одного килограмма латекса составляет 70 рублей при закупке менее 3 тонн, и 50 рублей при закупе 3 тонн и более. Стоимость таможенного оформления и доставки любой партии латекса до 10 тонн составляет 35000 рублей. Стоимость хранения одного килограмма латекса на складе составляет 5 рублей в день. Определите оптимальный размер заказываемой партии и скажите, необходимо ли пользоваться скидкой. Предполагается, что произведенные перчатки сразу поступают на отгрузку и компания их фактически не хранит на складе. Укажите в ответе оптимальный размер партии, которую необходимо заказывать, точку восстановления запаса, если поставка осуществляется в течение 25 дней, и средние издержки в единицу времени.

11. После того, как Томская компания "Том-Ком" заключила долгосрочный договор с компанией с дистрибьютором комплектующих деталей компании TRUST, она может воспользоваться 10% скидкой при закупке более 5 тысяч различных комплектующих. Не вдаваясь в подробности, скажем, что средняя закупочная стоимость комплектующих – 300 рублей, а средняя величина спроса 3600 наименований в месяц (месяц = 30 дней). Затраты связанные с оформлением бумаг и доставкой товара из Москвы в Томск равняются приблизительно 20000 тыс. рублей. Хранение коробки с комплектующими деталями (в коробке, в среднем, 10 единиц товара) обходится в 21 рубль в неделю. Определите, имеет ли смысл "Том-Кому" пользоваться обозначенной в договоре скидкой, какое количество комплектующих будет оптимальным заказом. Найдите точку восстановления заказа, если грузовой поезд едет из Москвы до Томска 6 дней, а оформление заказа на складе дистрибьютора занимает 2 дня.

Задачи к разделу 2.2

12. Завод выпускает на рынок новый вид инструментов. Именно в данной ситуации, необходимо обеспечивать постоянное наличие товара на складе. В связи с этим, руководитель планового отдела, вместе с менеджерами оценили примерные издержки от отсутствия одного изделия на складе в том момент, когда на него есть спрос. Они равняются 6720 рублей в месяц. Запуск оборудования в цехе по производству инструментов обходится в 50000 рублей. Хранение одного изделия обходится в 100 рублей в день. По прогнозам отдела маркетинга спрос на новые инструменты должен составить 40 штук в неделю. Руководителю планового отдела необходимо определить задание производственному цеху (количество производимых изделий и когда производить), исходя из критерия минимизации реальных и возможных (возникающих при отсутствии товара на складе) затрат. Ответ округлите до целого (Месяц = 4 недели).

13. Производитель подшипников и завод по сборке коленвалов заключили соглашение, согласно которому, возможны отклонения в размере поставляемой партии, если у производителя отсутствует необходимое количество товара на складе, но при этом он должен будет платить 15 рублей в день за каждый недопоставленный под­шипник. Стоимость запуска производства подшипников составляет 20 тысяч рублей, хранение одного изделия обходится в 0,5 рублей в день. Себестоимость одного изделия при продаже его заводу – 30 рублей, а спрос ориентировочно будет составлять 1800 штук в месяц. Определите: размер партии подшипников, которую необходимо производить для минимизации затрат; максимальный объем дефицита, который возникнет при выбранной объеме производства (Месяц = 30 дней).

14. Компания "NetОгня" заключила государственный контракт на поставку противопожарных систем для учреждений Министерства образования. Согласно контракту каждый месяц компания обязана установить противопожарные системы в 12 школ (Месяц = 4 недели). Компания закупает противопожар­ные системы за рубежом. Стои­мость хранения одной системы на складе компании обходится в 1000 рублей в неделю. Стоимость оформления заказа на поставку, включая доставку и таможенные платежи, составляет 30000 рублей. Если компания не выполняет график Министерства образования, и не успевает осуществить установку систем в текущем месяце во всех школах, то она обязана сделать это в следующем месяце и помимо прочего заплатить неустойку в размере 16000 тысяч рублей за каждую систему, установленную с опозданием на месяц. Время доставки систем от производителя до склада компании "NetОгня" составляет 2 недели.

Определите оптимальный размер заказа противопожарных систем, если компания планирует минимизировать свои издержки связанные с исполнением контракта. Укажите также точку восстановления заказа и максимальный размер дефицита.

15. Представитель компании EastmanKodakиFujiв Екатеринбурге поставляет в больницы расходное оборудование для рентгенологии (пленки, проявители и прочее). Среднее количество поставок в месяц – 18. При этом, согласно декларируемым компанией условиями, если комплекта расходных материалов не оказалось на складе в момент заказа, то больница получит заказ в следующем месяце со скидкой в 10% от стоимости комплекта. Цена одного набора расходных мате­риалов – 40 тысяч рублей. Стоимость хранения одного комплекта, достаточно высока и составляет 500 рублей в месяц. Затраты на доставку товара со склада представительствKodakиFujiв Москве составляют 16 000 рублей, а машина идет до Екатеринбурга 5 дней. (Месяц = 30 дней). Определите оптимальное количество комплектов, которые следует заказывать, точку восстановления заказа и затраты компании на один период поставки.

16. Фирма «СпецОилТех» реализует оборудование для заправочных станций. При этом покупатели заключают с фирмой специальный контракт на поставку по требованию, поскольку им необходимо быть уверенными заранее в том, какое оборудование будет стоят на их заправочных станциях. Согласно стандартного договора, «СпецОил­Тех» будет вынуждена платить неустойку покупатели в случае отсутствия заправочных колонок на складе компании в тот день, когда они понадобятся покупателю. При цене одной колонки в 80 тысяч рублей неустойка составляет 5 тысяч рублей в неделю. В среднем «СпецОилТех» обеспечивает оборудованием ежемесячно 4 станции (Месяц = 4 недели). Затраты на хранение одного комплекта оборудования на специальном складе, где исключается возможность допуска к оборудованию посторонних людей, составляет 1250 в не­делю. Затраты на оформление и сопровождение оборудования со склада поставщика до склада «СпецОилТех» составляют 50 000 рублей. Определите, сколько комплектов оборудования необходимо заказывать, чтобы издержки были минимальны. Каким является максимальное количество колонок на складе, если фирме придется покрывать дефицит (недопоставку) за счет пришедшей партии?

17. Управление здравоохранения города Nпри заключении договора с поставщиками лекарственных средств указывает, что в случае несвоевременной поставки продукции, поставщик выплачивает штраф в размере 0,25 процента стоимости лекарственного средства за каждый день просрочки. Просчитайте оптимальный размер заказа для представителя компанияNovartisв городеNи его затраты на один период поставки, если по его оценкам, спрос на лекарственные средства из его ассортимента составляет 3600 упаковок в месяц (ответ округлите до целого числа). Хранение в специальных температурных условиях в пересчете на 1 упаковку лекарств составляет 4 рубля в день. Приблизительная стоимость оформления доставки груза со склада компанииNovartisв Москве – 6000 рублей. Стоимость одной упаковки лекарственных средств, согласно договора с Управлением – 2000 рублей. (Месяц = 30 дней).

18. Спортивный клуб предоставляет своим клиентам питьевую воду, которую заказывает в компании «ФУКС-вода». Клиенты выпивают более 70 литров воды ежедневно, а, как известно, самая большая бутылка «ФУКС-воды» содержит 20 литров. Складские помещения спортивного клуба не велики и альтернативная стоимость хранение 20-ти литровой бутылки воды составляет 2 рубля в день. Компания «ФУКС-вода» размещает заказ на доставку любого количества воды за 220 рублей. Время поставки воды в спорт клуб – 3 дня. Разработайте оптимальную еженедельную стратегию управления запасами «ФУКС-воды» (точку заказа, оптимальный объем партии и максимальный объем бутылок воды на складе), разлитой в 20 литровые бутылки, если известно, что сумма затрат на удовлетворение жалоб клиентов на отсутствие воды еженедельно составляет 200 рублей на 1 бутылку

19. Цех по производству офисной мебели решет вопрос об объемах и периодичности заказа фурнитуры. Мебельные ручки - это завершающий штрих в создании красивой и стильной мебели. Среднемесячное потребление мебельных ручек цехом составляет 600 штук. Вся фурнитура доставляется из Москвы в течении 15 дней с момента. Стоимость размещения заказа, включающая оформление всей необходимой документации составляет 700руб. Стоимость хранения коробки содержащей 30 мебельных ручек составляет 15 рублей в сутки. В том случае если ручек на выполнение заказа не достаточно, мебель поставляется без ручек, а при следующей поставке мастер их устанавливает, «переплачивая» за каждую ручку в среднем 10 рублей в день (фактически фирма теряет эти деньги, предлагая клиентам скидку за несвоевременную поставку). Определите оптимальный объем закупаемой партии максимально допустимый объем дефицита, минимальные суммарные затраты цеха на мебельные ручки и точку возобновления запаса.

Задачи к разделу 2.3

20. На станке производятся детали в количестве 12000 единиц в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке, производительностью 4000 единиц в месяц. Оставшиеся детали образуют запас и продаются в конце года сторонним организациям. Издержки хранения составляют 1,5 рубля за одну деталь в месяц. Стоимость производственного цикла на первом станке равняется 8000 рублей. Определите, сколько деталей необходимо производить на первом станке непрерывно, с какой периодичностью запускать производство и каковы затраты в единицу времени?

21. Стоимость запуска печатного станка составляет 5 тыс руб. Альтернативные издержки на хранение каждой непроданной копии журнала 3 рубля в день. Технологические мощности станка позволяют печатать полиграфическую продукцию тиражом до 45 000 экземпляров в день. Спрос на модный журнал составляет 280 000 экземпляров в неделю. Определите оптимальный объём тиража на один производственный цикл и средние суммарные издержки в единицу времени.

22. В сборочном цехе завода Световод в ручном режиме украшают люстры хрустальными элементами. 30 человек занимаются этой работой и каждый делает две люстры в час. На заводе 8-ми часовой рабочий день. Металлические заготовки для люстр делаются во вспомогательном цехе с интенсивность 140 штук в час. Затраты на хранение не обработанных заготовок составляют 2,5 рубля в час. Стоимость запуска станка по производству заготовок составляет приблизительно 4300 тысячи рублей и включает в себя перенастройку, наладку, возможный ремонт и з/п мастера. Опреде­лите оптимальный размер партии заготовок для люстр, которые необходимо делать во вспомогательном цехе, если завод хочет минимизировать издержки, связанные с запуском производства.

23. На фабрике кондитерских изделий "Радуга вкуса" производство тортов построено по принципу "стандартные бисквиты – разная начинка", поэтому первая и вторая часть производственного процесса разведены по разным цехам. Бисквиты выпекаются в цехе №1 со средней интенсивностью 225 коржей в час. Собственно приготовление тортов происходит в цехе №2. Некоторая часть работы здесь является ручной, поэтому средняя скорость появления готовых тортов составляет 100 тортов в час. В цехе №1 также могут выпекаться бисквиты для печения, поэтому перена­стройка оборудования на производство бисквитов для тортов с учетом затраченного времени наладчика и перенастройки техники обходится в 1000 рублей. Хранение бисквитов, с целью сохранения их свойств, происходит в специальной камере. Стоимость хранения в переводе на бисквит для одного торта составляет 1 рубль в час. Завод работает в две смены, что составляет в общей сложности 16 рабочих часов. Определите какой объем бисквитов, следует производить за раз в цехе №1, что затраты на хранение готовых бисквитов и переналадку оборудования были минимальны. Рассчитайте среднюю величину затрат в единицу времени при выбранном объеме заказа для цеха №1.

24. Предприятие занимается захоронение отходов под землей. Работа состоит из двух этапов: сначала упаковки мусора на специальном лифте опускаются под землю, затем специальная роботизированная бригада развозит мусор по штрекам. Стоимость запуска лифта – 40000 рублей, максимальная грузоподъемность – 5 тонн, на один рейс уходит 1 час. Роботы развозят мусор с интенсивностью 1000 кг в час. Нельзя допустить ситуацию, когда у роботов не будет мусора для его размещения по штрекам шахты, поскольку это потребует вызова мастера и перенастройки программы. Условная стоимость нахождения мусора в основном стволе шахты до того, как он будет развезен роботом, составляет 100 рублей за кг за час. Эти затраты возникают потому, что, согласно договору с областными властями полное захоронение отходов должно происходить за менее чем часовой срок. Определите оптимальный размер загрузки лифта и периодичность его работы, исходя из того, что предприятие желает минимизиро­вать свои затраты связанные со спуском и развозкой мусора.

25. Семья Ивановых живет в деревне и содержит подсобное хозяйство, в том числе кур-несушек разных пород. Яйценоскость разных пород кур оценивается по-разному, однако бабушка Иванова – Мария Владимировна подсчитала, что в среднем их 5 кур приносят 90 яиц в месяц. На содержание всех кур Ивановы тратят около 150 рублей в месяц. Вся семья Ивановых за месяц потребляет 30 яиц, излишки бабушка продает соседям, не постоянно проживающим в деревне, но приезжающим на каждые выходные, по 3р за яйцо. Соседи охотно покупают качественные, экологически чистые яйца, в оригинальной упаковке. Упаковка представляет собой плетёный короб, который делает внук Марии Владимировны Петя. Петя мог бы отдавать короба бесплатно, но бабушка стимулирует работу внука и за каждый короб дает внуку 15 рублей. Марии Владимировне требуется всего лишь 1 короб каждую неделю, так как в него она складывает все яйца снесённые курами за неделю, а в конце недели отдаёт вместе с неиспользованными яйцами соседям. Определите размер ежемесячных затрат/прибыли семьи Ивановых от содержания кур и еженедельные издержки Марии Владимировны на одно яйцо и одну курицу. Определите, какое количество кур, будет достаточным, чтобы удовлетворять потребности семьи?

26. За более чем 60 - летнее существование экструзионных технологий появилось большое разнообразие конструкций машин для их реализации.

Экструзия - кратковременный высокотемпературный процесс, который с успехом применяется как в пищевой, так и в комбикормовой промышленностях. Экструзия сложный физико-химический процесс, который протекает под действием механических усилий при условии присутствия влаги и высокотемпературного воздействия. Для реализации процесса экструзии применяется шнековый экструдер. Рабочую часть экструдера с учетом стадий процесса обработки можно условно разделить на три зоны: I - зона приема сырья; II - зона  пластификации и сжатия; III - зона выпрессовывания продукта.

Зона приема сырья способна принимать в день до 5 тонн сырья, пропускная способность зоны пластификации и сжатия около 3–х тонн в день, которые полностью впрессовывается в готовый продукт. Затраты на предпусковую обработку, разогрев и запуск экструдера составляют около 10 000 рублей. Экструдированный продукт необходимо просушивать. Затраты на хранение и просуши­вание на собственной территории ста килограммов продукта компания оценивает в 50 рублей в день. Месяц – 4 недели.

Определите: 1. Какой объем сырья нужно закупать ежемесячно для обеспечения минимальных издержек экструдирования, если известно, что спрос на продукцию в неделю в среднем 17 тонн, а так же ежемесячные издержки экструдирования. 2. Объем спроса готовой продукции, если компания приняла стратегию производства 1,5 тонн в день.

27. Челябинская автомобильная компания «Эл – Плюс» еженедельно получает автомобили от производителя в Тольятти. Автомобили доставляются автовозами. Каждый автовоз вмещает 8 автомобилей. Максимальное количество автовозов которое может прийти в Челябинск в неделю – 5 штук. Затраты, связанные с организацией доставки машин, независимо от количества автово­зов, составляют 50 000 рублей. Стоимость простоя автомобиля на парковке «Эл – Плюса» 40 рублей в день.

Определите сколько автовозов в неделю должно приходить в Челябинск, чтобы обеспечить спрос на автомобили в размере 15 штук в неделю, при условии, что компания не допускает случая нехватки автомобиля.

Задачи к разделу 2.4

28. Чаеразвесочная фабрика TeaBom закупила новое оборудова­ние для формирования чайного сырья, т.е. будущего содержимого чайных пакетиков. Мощность данного оборудования 500 кг за 5 часов. Приготовленное сырье перемещается в фасовочный цех, где делаются чайные пакетики, либо в хранилище, где необходимо выдерживать специальный влажностный и температурный режим. С учетом затрат на оборудование в комнате хранения и текущих расходов, стоимость хранения оценивается в 5 рублей за 10 кг чая в час. Фасовочный цех может делать 200000 пакетиков в тот же 5 часовой промежуток. На каждый пакетик используется 2 грамма чайной массы. Определите, партиями какого объема необходимого заготавливать чайную массу, если стоимость запуска оборудования в первом цехе – 2000 рублей, а дополнительные расходы, которые компания понесет в случае простоя оборудования в фасовочном цехе, равняются 1 рублю на 1 кг чая. Какова величина затрат компании на один производственный цикл?

29. Со склада компании «Дом стекла» продаются готовые стеклопакеты для крупных застройщиков. Цех компании может производить до 450 стеклопакетов в неделю. Стандартный договор компании с покупателями содержит пункт о том, что в случае отсутствия достаточного количества стеклопакетов на складе, компания осуществляет допоставку позже, но при этом выплачивает пеню в 350 рублей за каждый стеклопакет за неделю ожидания. Стоимость хранения одного готового стеклопакета на складе обходится в 50 рублей в день. Еженедельный спрос составляет в среднем 350 стеклопакетов в неделю. Стоимость запуска производственного цикла в цехе, независимо от количества произведенных стеклопакетов, экономисты оцениваю в 5000 рублей. Определите величину максимального дефицита, который может возникнуть на складе компании, если она пытается минимизировать свои затраты, связанные с хранением товара, размещением заказа и возможными потерями от дефицита. Также рассчитайте оптимальный размер партии стеклопакетов, которую необходимо производить компании. Неделя = 7 дней, все рабочие.

30. В настоящий момент поставщик мебельной фурнитуры позво­ляет себе заключать договора на непроизведенный товар в количестве 100 единиц. Согласно таким договорам покупатель платит за каждую единицу фурнитуры на 2% меньше ее продажной цены за каждый день просрочки. Средняя стоимость продукции завода 500 рублей. Затраты связанные с запуском производствен­ного цеха составляют 16000 рублей. Максимальная мощность производствен­ного отдела 800 изделий в неделю. Хранение одного изделия в магазине обходится в 5 рублей в день. Спрос составляет в среднем 80 изделий в день. Определите, насколько выбранный компанией объем договоров на непроизведенный товар соответст­вует оптимальному возможному дефициту, если бы компания оптимизировала свои затраты. Рассчитайте издержки компании в единицу времени с учетом упущенной выгоды, если себестоимость одной единицы фурнитуры 200 рублей, и оптимальный размер заказа. Неделя = 7 дней, все рабочие.

31. Компания "Цветик-семицветик" продает семена. Компания получает заказы со всей России и рассылает заказы почтой или транспортными компаниями, в зависимости от объема заказа. При этом, в своей рекламе компания утверждает, что отправка заказов осуществляется в день поступления заказа. Если же у компании не оказывается необходимого количества упаковок семян, она досылает их позже, но при этом покупатели платят за них на 20% меньше за каждую неделю просрочки. Упаковочная линия компании способна работать с максимальной интенсивностью 150000 упаковок семян в неделю. Еженедельный спрос составляет в среднем 12000 упаковок. Затраты на хранение семян в специальном холодильнике составляют 4 рубля в неделю. Одна пачка семян стоит в среднем 80 рублей. Запуск фасовочной линии с учетом необходимости наладки, покупки упаковочных материалов и прочего обходится в 6000 рублей. Определите оптимальный объем партии, которую необходимо готовить фасовочному цеху, с учетом средней стоимости одной упаковки в розничной продаже, равной 80 рублям. Отдел продаж и цех работают 7 дней в неделю. Определите протяженность интервала времени, в течении которого у фирмы будет отсутствовать товар на складе. На начало сезона продаж на складе уже находится 20000 упаковок. На какой день после начала продаж необходимо запустить производство?

32. На медицинском заводе "Фарммед" в Хабаровске установили новую линию для фасовки бахил в индивидуальные упаковки по 1 паре. Производственный цех изготавливает 50 000 штук бахил в час. Фасовочная линия может произвести за час 20000 пар бахил в индивидуальной упаковке. На заводе 8-часовой рабочий день. Неиспользованные сразу на линии фасовки простые бахилы хранятся в цехе фасовки и их хранение обходится в 70 копеек за упаковку 50 пар в неделю. Необходимые операции для начала производства бахил в производственном цехе оцениваются в 500 рублей. Весь дневной объем производства вечером отправляется поездом в Новосибирск, где находится торговое звено компании. Для этого с транспортной компанией заключен договор, согласно которому компания получает емкости, рассчитанные на дневной объем производства. Если же компания по каким-либо причинам не использует этот объем, то затем она должна оплатить допол­нительные транспортные услуги за допоставку товара (10 копеек за каждую пару за неделю). Определите оптимальный объем производства для производственного цеха при условии, что компания желает минимизировать все свои затраты, и максималь­ный объем товара на складе.

33. Кафе "Неаполь" предлагает своим посетителям делать заказы "на вынос". Кухня может делать в среднем 15 пицц в час. Посетители в среднем заказывают пиццу "на вынос" каждые 6 минут. При этом руководство кафе утвердило следующий порядок работы: если в момент заказа готовой пиццы нет, то кафе осуществляет доставку до любого названного клиентом адреса за свой счет. Себестоимость доставки в среднем составляет 50 рублей. Хранение готовой пиццы в специальном, подогревающем, отсеке печи обходится в 15 рублей в час. Подготовка печи к работе и прочие единовременные расходы оцениваются в 300 рублей. Стоимость одной пиццы в среднем составляет 300 рублей, а стоимость продуктов для ее приготовления – 120 рублей.

Определите, какое количество пицц необходимо производить кухне, чтобы постараться удовлетворить спрос и чтобы при этом, издержки кафе были минимальны. Определите прибыль кафе в единицу времени. Ответ округлите.

34. В сборочном цехе компьютерной фирмы "dRaft" системные блоки собираются из комплектующих деталей, подготовленных сортировщиками. В среднем производительность сборщиков – 10 системных блоков в час. Сортировщики работают быстрее, и за час собирают 15 наборов комплектующих. Хранение одной коробки, которая вышла с сортировочной линии, но еще не используется сборщиками, оценивается в 10 рублей в час. Если же объем подго­товленных комплектов меньше, чем готовы обработать сборщики, то фирм несет убытки, поскольку она вынуждена платить зарплату простаивающим сборщикам. Зарплата одного сборщика 160 рублей в час, а за час он собирает и тестирует 2 системных блока.

Определите, сколько наборов комплектующих и как часто необходимо собирать за раз сортировщикам, если необходимо минимизировать затраты компании, а запуск сортировочной ленты и подготовка комплектующих к сортировке обходятся в 300 рублей. Какую долю времени будут простаивать сборщики, при выбранном объеме производства?

35. Транспортная компания осуществляет доставку грузов, прибыв­ших морем в глубь страны железнодорожным транспортом. Реша­ется вопрос о том, какого типа кран и автопогрузчики необходимо установить на разгрузочном терминале, чтобы минимизировать издержки компании. Первый тип разгрузочных машин, может подготавливать грузы к погрузке в ЖД вагон с максимальной интенсивностью 12 тн в час, а второй – 10 тн в час. Погрузочная станция на ЖД платформе может обслужить лишь 9 тн в час. Если груза нет для погрузки в ЖД вагоны, то компания платит за простой вагона на погрузочной платформе. В переводе на 1 кг груза это составляет приблизительно 30 копеек в час. Стоимость запуска первого оборудования (с учетом наладки, контроля и прочего) – 8000 рублей, второго - 7000 рублей. Для хранения подвезенного, но еще не погруженного груза есть специальная платформа, хранение товара на которой обходится в 25 копеек в час за кг груза.

Определите суммарные издержки в единицу времени для первого и второго типов оборудования, сформулируйте, какую комбинацию кран + погрузчик лучше использовать, каково оптимальное количество выгружаемого груза в единице времени. И сколько времени понадобится компании, для разгрузки выбранным способом корабля, вмещающего 400 тонн груза.

Задачи к разделу 2.5

36. Компании, производящей сельскохозяйственную продукцию, необходимо удовлетворить спрос на её продукцию в течение полу­года. Компания выпускает продукцию в мешках по 20 кг, затраты на производство продукции составляют 0,4 денежных единицы за один мешок. Известно, что спрос уменьшается ежемесячно в связи с появлением подножного корма животных и составляет в январе 5 тонн, в феврале 4,7 тонны, в марте 4,3 тонны, в апреле 3,5 тонны, а в мае и июне уменьшается, соответственно, до 2,4 тонн и 2 тонн. Также компания знает, что чем ближе к лету, тем сложнее заклю­чить контракт на поставку товара и средние затраты на оформление заказа зимой составляют 15 денежных единиц, весной 18 денежных единиц, а летом возрастают до 20. Затраты на хранение 1-го мешка продукции весной выше, чем в любое другое время года в марте и апреле они составляют 0,3 денежные единицы, в мае 0,2 денежные единицы, тогда как в январе, феврале и июне они составляют 0,1 денежную единицу.

Найти: план производства продукции, минимизирующий затраты; насколько изменятся затраты если к январю на складе скаплива­ется 200 мешков готовой к реализации продукции.

37. Требуется найти оптимальную стратегию управления запасами в четырех этапной системе, если известно, что затраты на приобретение продукции в количестве до 10 штук составляют 15 денежных единиц и 12 денежных единиц за каждую дополнительную единицу товара.

Период	Спрос	Затраты на оформление заказа	Затраты на хранение
1	4	4	8
2	3	8	6
3	3	10	4
4	2	12	2

38. Требуется найти оптимальную стратегию в трехэтапной системе управления запасами, которая формулируется ниже. Начальный запас равен x1=1 единице продукции. Предполагается, что предельные затраты на приобретение продукции составляют 2$ за каждую единицу для первых четырех единиц и 3$ за каждую дополнительную единицу.

Период, i	Спрос, (единицы)	Затраты на оформление заказа, $	Затраты на хранение, $
1	2	4	2
2	3	5	3
3	5	7	1

39. В меню столовой пансионата «Нефтяник» ежедневно предусмотрено для каждого отдыхающего 3 мясных блюда (на завтрак, обед и ужин). Медицинская сестра по диетпитанию составляет меню-раскладку в начале каждой недели и делает заказ необходимого количества мяса. Ежедневная порция мяса на 1 отдыхающего составляет 300 грамм в день. Количество отдыхающих в пансионате в течение 4 недель марта составляет 550, 470, 340, 490 человек. Данные о количестве отдыхающих поступают от отдела продаж путевок. Затраты на оформление заказа, включая справку из ветслужбы о годности продукта и доставку, следующие. В первую и вторую неделю марта 15000 рублей, а в третью и четвертую неделю, в связи, с подорожанием бензина составляют 20000 и 22000 рублей соответственно. Закуп мяса производится у крупных поставщиков по 130 рублей за килограмм до 1 тонны, и предоставляют 10% скидку при заказе более 1 тонны. Стоимость хранения 1-ого килограмма мяса на складе (включая заморозку) обходится пансионату в 5 рублей в день. Определите оптимальный размер заказа мяса на 4 недели марта с учетом описанных выше особенностей.

40. Типография университета к началу учебного года должна выпускать сборники методических указаний по основным курсам. Количество сборников должно равняться числу принятых студентов. С учетом запланированной структуры финансирова­ния и возможностей университета, величина планируемых к приему студентов на ближайшие 5 лет типографии известна. Она состав­ляет 200, 320, 280, 240, 240 человек. Необходимость обновления методических указаний в связи с модернизацией учебных планов в третий год, по оценке типографии, приведет к появлению дополни­тельных расходов (на оплату труда преподавателей, пишущих метод. указания и проч.) в размере 20000 рублей. Следовательно, в третий четвертый и пятый год должны будут печататься только новые методички. Собственно запуск печатного оборудования стоит 20000 рублей и по предварительной оценке, эти затраты с каждым годом будут увеличиваться на 5%. Методические указания могут выпускаться партиями по 40 штук. При выпуске партии менее 320 штук затраты на сырье составляют 20 рублей на один экземп­ляр метод. указаний, при производстве 320 и более экземпляров – зартраты составят 18 рублей. Стоимость хранения одной партии составляет приблизительно 800 рублей в год. Определите оптимальный план выпуска методических указаний на 5 лет с учетом описанных выше особенностей и представьте структуру расходов для каждого года.

41. Принципы работы завода авиационных двигателей позволяют ему точно определить объем продаж, поскольку он определяется заключенными контрактами с точным указанием необходимого количества двигателей к поставке. В ближайшие три года, по заключенным договорам, необходимо будет поставить 30, 50 и 40 двигателей, соответственно. С четвертого года, необходимо будет поставлять не только текущую модель двигателя, но и модернизированные двигатели. Оценочная стоимость перена­стройки оборудования и обучения персонала составит 4000000 рублей. Объемы поставки модернизированных двигателей на 4 и 5-ый года составляют 30 и 40 штук. В тоже время необходимо будет поставить также по 5 старых двигателей в 4 и 5-м годах. Но, начиная с четвертого года, эти двигатели уже нельзя будет произвести, а значит, предприятию, необходимо будет сделать запас. Проверка оборудования и подготовка его к запуску, оформление технической документации и заключение договора с транспортной компанией, которая будет осуществлять доставку двигателей до заказчиков выливается для завода в затраты, описываемые следующей функцией 2000000 + 100000Xi, где Xi – количество необходимых к поставке в текущем году двигателей. Затраты на хранение одного двигателя составляют 60000 в год. Стоимость производства одного двигателя оценивается в 400000 рублей. Определите оптимальный объем производства для каж­дого года и затраты для каждого года. Примечание: производство завода настроено на выпуск двигателей партиями по 10 штук.

42. Компания «ПОГОДОФФ» осуществляет установку кондиционеров. От установки одного кондиционера компания получает прибыль 15 тыс. рублей. Затраты компании на приобретение 1 го кондиционера у производителя 50 тыс. рублей. Компания имеет собственный склад. Содержание единицы продукции на складе, включая работу персонала, оплату услуг охранного предприятия, оплату коммунальных услуг, составляет 1,5 тыс. рублей в месяц. Компания «ПОГОДОФФ» лидер на рынке установки кондиционеров в городе Ч., такого успеха компания добилась за 7 лет существования. Пользуясь накопленной статистической информацией предыдущих лет, компания может предположить, что спрос на установку кондиционеров в апреле больше чем в марте в 2 раза, мае больше чем в апреле на 15 штук, а в июне в 5 раз больше, чем в марте. Сегодня 26 марта и до конца месяца компания планирует установить только один кондиционер, а за прошедшие дни марта было установлено 8 агрегатов. Затраты компании на размещение заказа и доставку кондиционеров от производителя в город Ч. в апреле в связи с весенней слякотью и состоянием дорог после зимы составляют 6 тыс. рублей, в мае расходы сокращаются до 4,5 тыс. рублей, в июле же компания производитель кондиционеров получает огромное количество заказов, и стоимость оформления и отгрузки заказа в срок возрастает снова до 6 тыс. рублей. Разработайте оптимальную стратегию управления запасами на следующие 3 месяца компании «ПОГОДОФФ» и в соответствии с ней найдите максимальную прибыль компании на следующие 3 месяца.

43. Фирма по установке балконов заранее планирует свою работу, в силу малочисленности работников. На следующие три недели запланировано остекление и внутренняя отделка 3, 4, 2 балконов, соответственно. Склад и офис у компании находятся в одном месте, поэтому хранение комплектующих для, так сказать, модернизации балкона, обходится достаточно дорого за один комплект, в 500 рублей в неделю. Весь набор стекол, металлических рам, и дерева для внутренний обшивки стандратного балкона обходится в 5000 рублей при покупке менее 5 комплектов, и в 4000 при покупке 5 и более комплектов. В тоже время, если закупается менее 5 комплектов, то товар увозится на машине мастера, старенькой 8-ке, а при покупке 5 и более комплектов приходится заказывать Газель. В первом случае доставка обходится в 200 рублей, а во втором в 600. Определите оптимальный план закупа комплектующих для ремонта на ближайшие три недели. На начало этих трех недель на складе есть 2 комплекта материалов.

44. На заводе нетканных материалов «π-waterlaid», производящем одноразовую одежду и гигиенические средства, специалистам отдела закупок поступило распоряжение от совета директоров. Согласно распоряжению, им необходимо составить план закупок спанбонда, минимизирующий затраты компанию на транспортировку, хранение материала и прочие накладные расходы, на 5 месяцев. Отдел продаж предоставил прогноз продаж на этот период, который отдел закупок перевел в единицы необходимого сырья. План потребления сырья выглядит следующим образом:

Месяц	апрель	май	июнь	июль	август
Объем сырья, тонн	15	20	25	25	20

Сырье производится на фабрике в Италии и доставляется фурами. Стоимость спанбонда составляет 2,5 евро за кг. При закупке свыше 30 тонн, завод производитель предоставляет скидку в 20%. Стандартная норма отгрузки – 5 тонный контейнер. Партиями меньшего размера спанбонд не отпускается. Фура может перевозить до 20 тонн, но при этом стоимость транспортировки недогруженной фуры не уменьшается. До конца второго квартала, доставка продукции на фуре будет стоить 2500 евро. С третьего квартала, стоимость транспортировки возрастет до 2800 евро. Накладные расходы на транспортировку, зависят от размера закупаемой партии и составляют 20% от стоимости груза при закупке до 30 тонн, 15% - при закупке до 50 тонн, и 10% - при закупке 50 тонн и выше. Стоимость хранения 10 кг спанбонда составляет 1 евро в месяц. При этом, отделу закупок необходимо учесть тот, факт, что в конце июня планируется переезд на новый склад, что приведет к подорожанию затрат на хранение в июне до 1,6 евро за 10 кг в месяц, затем эта стоимость вернется на прежний уровень. На начало рассматриваемого периода на складе компании имеется 5 тонн материала.

Задачи к разделу 3.1

45. Случайный спрос на изделия в течение одного этапа описывается следующей плотностью вероятности:

Спрос возникает мгновенно в начале этапа, а удельные затраты на хранение и потери от штрафов за дефицит в течение этапа равны 10 и 40 рублей соответственно. Удельные затраты на приобретение изделия составляют 30 рублей. Найти оптимальный размер заказа при исходном запасе 9 изделий.

46. Спрос на выпускаемое цехом изделие в течение 36 месяцев колебался в пределах от 40 до 80 штук в месяц. Себестоимость производства одного изделия  20 ден. ед., потери от нехватки одного изделия (в том числе, упущенная прибыль) оценивается руководством в 50 ден. ед., стоимость хранения одного изделия (сюда входит и стоимость «омертвленных» средств) полагается равным 10 ден. ед. Считая, что спрос является случайной величиной с равномерным законом распределения вероятностей, определить какое количество приборов нужно изготовить в текущем месяце с тем, чтобы ожидаемые издержки были минимальны, если на складе цеха имеется 12 изделий.

47. Случайный спрос на изделия в течение одного этапа описывается следующей функцией плотности вероятности:

Спрос возникает мгновенно в начале этапа, а удельные затраты на хранение и потери от штрафов за дефицит в течение этапа равны 3 и 9 рублей соответственно. Удельные затраты на приобретение изделия составляют 5 рублей. Найти оптимальный размер заказа при исходном запасе в 35 изделий.

48. Новый менеджер завода "ДрамМашина" обнаружил, что спрос на продукцию завода (специальные барабаны), за два последних года ни разу не был меньше 20 и больше 60 штук в месяц. Заказ материалов для барабана у поставщика носил хаотичный характер, не смотря на то, что за не своевременную поставку готовых барабанов завод платил издержки в размере 18000 рублей за один барабан. Используя свои знания в области статистики, он оценил плотность вероятности спроса. И хотя его оценка не была идеальной, она должна ему помочь в определении оптимального размера заказа. Пусть оценка функции плотности распределения имеет вид

Затраты на закупку материалов для одного барабана равнялись 12000 рублей, а затраты на хранение одного комплекта материалов – 2000 в месяц. Определите оптимальную величину заказа.

49. Футбольному клубу "Спартак" в течение текущего сезона необходимо отремонтировать свой стадион. При этом для ускорения процесса, ремонт и модернизацию стадиона можно начать в течение сезона, закрыв на стадионе несколько секторов. Общая вместимость стадиона составляет 30000 человек. Посещаемость в течение сезона зависит от результатов команды, качества игры, и уровня соперника в каждом конкретном матче. Президент клуба поручил аналитическому отделу исследовать посещаемость по статистке предыдущих двух сезонов. Аналитический отдел пришел к выводу, что посещаемость распределена (с некоторыми допущениями) по равномерному закону распределения на интервале от 5000 до 28000. Предложите ваш вариант решения вопроса о том, какое количество мест на стадионе можно закрыть на реконструкцию, исходя из полученных данных по посещаемости, и минимизации затрат клуба на подготовку стадиона к матчам, поддержание его в нормальном состояние, а также минимизации незапланированных потерь от нехватки билетов. Средняя стоимость билета в новом сезоне – 200 рублей. Затраты на подготовку стадиона к матчу в пересчете на одно место равняются 100 рублям, а поддержание одного места на стадионе в нормальном состоянии (уборка, ремонт, покраска) составляют в среднем 40 рублей.

50. Производитель спортивной одежды компания "Reemok" определяет необходимые для максимального удовлетворения спроса объемы производства спортивной амуниции для гольфа. Согласно наблюдениям отдела маркетинга компании, спрос на указанную амуницию распределен по нормальному закону распределения со средним 3000 комплектов и стандартным отклонением, равным 400. Стоимость одно комплекта амуниции составляется 300 долларов, а затраты на его производство и доставку до магазинов 120 долларов. Затраты на хранение для компании не представляются существенными, поскольку поставки осуществляются напрямую в магазины. Компании очень важно определить наиболее оптимальные объемы производства и не произвести лишних комплектов, поскольку на каждый новый сезон Reemok разрабатывает новую коллекцию. Предложите ваше решение данной проблемы.

51. Стоимость закупки ткани, раскроя и пошива горнолыжного костюма 25 денежных единиц. Горнолыжные костюмы товар сезонный, который продается особенно хорошо в период с ноября по февраль, спрос на них в этот период распределён равномерно на интервале [30;190]. Предположим, что удельные затраты на хранение одного костюма составляют 5 денежных единиц. Определите, какой размер удельных потерь от неудовлетворённого спроса предполагается в оптимальных условиях, если принята стратегия производства 120 костюмов в сезон.

52. Затраты на приобретение единицы необходимой в производстве продукции равны 15 денежных единиц, затраты на хранение единицы такой продукции а течении этапа составляют 6 денежных единиц, штраф за нехватку единицы продукции равен p денежных единицы. Найдите наибольшее возможное значение p, если размер заказа равен 5 штук. В таблице приведены возможные значения спроса и соответствующие им вероятности.

β	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
φ(β)	0,05	0,07	0,12	0,18	0,24	0,19	0,06	0,04	0,04	0,01