- •Министерство образования и науки рф
- •Тема: Создание экономико-математических моделей для задач линейного программирования
- •2. Теоретические сведения
- •Тема: Графический метод решения задачи линейного программирования
- •2. Теоретические сведения
- •3.Задание
- •Тема: Нахождение опорного (базисного) решения методами Гаусса и м-базиса
- •2. Теоретические сведения
- •2.1 Метод Гаусса
- •2.2 Искусственный базис (м - базис)
- •3. Задание
- •Тема: Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •2. Теоретические сведения
- •2.1 Алгоритм симплекс-метода
- •3. Задание.
- •Тема: Решение двойственных задач линейного программирования
- •1.Цель работы
- •2. Теоретические сведения
- •3. Задание
- •Тема: Решение транспортных задач
- •1. Цель работы
- •2.2 Построение первого опорного плана - методом наименьших тарифов
- •2.3 Построение первого опорного плана - методом “северо-западного угла“
- •2.4 Построение первого опорного плана методом двойного предпочтения
- •2.5 Проверка опорного плана на оптимальность
3.Задание
Решить задачу графическим методом на основе предложенных данных.
Данные для задачи:
N – количество букв в фамилии студента
M – количество букв в имени студента
K – количество букв в отчестве студента
Задача.
Предприятие производит два вида продуктов и использует в производстве два вида ресурсов. Технологическая матрица производства, запасы ресурсов и прибыль с единицы продукции каждого вида заданы таблицей 1. Записать математическую модель данной задачи, построить допустимое множество планов производства. Определить оптимальный план производства и соответствующую ему прибыль.
Технологическая матрица производства. Таблица 1
-
1 продукт
2 продукт
Запасы
1 ресурс
N
K
N*K
2 ресурс
M
K+1
M*(K+1)
Прибыль
N
K
Тема: Нахождение опорного (базисного) решения методами Гаусса и м-базиса
Цель работы
Изучить метод нахождения опорного плана методом Гаусса.
Изучить метод нахождения опорного плана методом М-базиса.
2. Теоретические сведения
Для решения задач линейного программирования существуют специальные методы. Общим методом решения всех этих задач является симплексный метод.
Принцип нахождения оптимального решения в симплексном методе состоит в следующем. ОЗЛП записывается в канонической форме. Т.е. все переменные неотрицательны, все ограничения имеют вид уравнений, целевая функция стремится к мин. (Если необходимо получить макс. то целевую функцию умножают на –1).
Область, описываемая линейными уравнениями, представляет собой многогранник в пространстве n переменных. Оптимальное решение задачи соответствует одной из вершин этого многогранника.
Если система m независимых линейных уравнений с n переменными совместима (n>m), то она имеет множество решений. В этих решениях количество переменных (n-m) могут принимать произвольные значения (их называют свободными переменными), а остальные m переменных, которые выражают через свободные, называют базисные переменные.
Базисным решением называют такое, в котором все свободные переменные равны нулю. Если при этом базисные переменные оказываются неотрицательными, то это решение называется опорным.
Алгоритм симплекс-метода состоит из двух этапов
отыскания опорного решения
отыскание оптимального решения
Для получения начального опорного решения используются два способа
метод Гаусса(метод последовательного исключения переменных)
способ искусственного базиса или М-базиса.
2.1 Метод Гаусса
В канонической форме линейной задачи базисными переменными возьмем дополнительные переменные. Для получения базисного решения, все оставшиеся свободные переменные приравняем к нулю. Получим систему m уравнений с m переменными. Данную систему можно решить методом Гаусса (метод исключения). Он состоит в следующем:
Систему уравнения приводят к эквивалентной ей треугольной системе. Это называется прямым ходом.
Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок – обратный ход
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования :
Деление или умножение коэффициентов и свободных членов на одно и то же число
Сложение и вычитание уравнений
Перестановку уравнений системы
Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю
Пример.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
5х1 - х2 + 2х3 =8
х1 + 4х2 - х3 = - 4 (1)
х1 + х2 + 4х3 = 4
Исключим, сначала неизвестное х1 из 2-го и 3-го уравнения системы (1), используя первое уравнение.
Уравнение, с помощью которого преобразуют остальные уравнения называют разрешающим уравнением, а коэффициент этого уравнения при исключаемом неизвестном, называют разрешающим (главным) элементом.
В примере разрешающее уравнение первое, разрешающий элемент равен 5.
Разделим первое уравнение на 5 и вычтем из первого и третьего уравнений системы. Получим систему (2)
х1- (1/5)х2 + (2/5)х3 = 8/5
(21/5) х2 - (7/5)х3 = - (28/5) (2)
(6/5)х2 + (18/5)х3 = (12/5)
Теперь второе уравнение будет разрешающим с разрешающим элементом (21/5). Разделим второе уравнение системы (2) на (21/5), получим второе уравнение. Умножим его на (6/5) и вычтем преобразованное второе уравнение из третьего. Получим систему (3):
х1 - (1/5)х2 + (2/5)х3 = 8/5
х2 - (1/3)х3 = - (4/3) (3)
х3 = 1.
Эти преобразования являются прямым ходом в методе Гаусса.
Умножим третье уравнение на (1/3) и вычтем его из второго. Затем третье уравнение умножим на (2/5) и вычтем его из первого. Получим систему (4):
х1 - (1/5)х2 = 6/5
х2 = - 1 (4)
х3 = 1.
Далее умножим второе уравнение системы (4) на (-1/5) и вычтем его из первого уравнения. Окончательно имеем систему (5):
х1 = 1
х2 = - 1 (5)
х3 = 1.
Это и есть решения системы (1).
Выполнение подстановок – обратный ход метода Гаусса.
Как видно из примера мы все преобразования выполняем с коэффициентами при неизвестных.
В общем случае
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1;
a21x1+ a22x2+…+ a2nxn =b2;
………………………….
an1x1+ an2x2+…+ annxn =bn;
Алгоритм отыскания решения системы m линейных уравнений методом Гаусса, с помощью ЭВМ, имеет следующие основные шаги:
коэффициенты аij и свободные члены bi системы размещаются в памяти ЭВМ в форме матрицы
а11 а12 … а1n a1 n+1
а21 а22 … а2n a2 n+1
А= ………..…………………
а n1 аn2 … аnn an n+1
где а1,n+1= b1 …
ищем максимальный по модулю коэффициент в столбце.
переставляем к-тую строку с первой строкой, содержащей максимальный коэффициент.
Преобразовываем все коэффициенты к–той строки путем деления на максимальный.
Преобразовываем с помощью к-той строки остальные строки к+1 - n.
Выполняем обратный ход Гаусса. Высчитываем значения переменных.
Построим опорный план, используя метод Гаусса
Пример.
Коммерческое предприятие реализует три группы товаров (А, В, С). Плановые нормативы затрат ресурсов на 1т в рублях товарооборота, доход от продажи товаров на 1 т в рублях товарооборота, а так же объем ресурсов заданы. Определить плановый объем продаж и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимальным.
Плановые нормативы затрат ресурсов. Таблица 1
Виды ресурсов |
Нормы затрат на 1т в рублях товарооборота. |
Объем ресурсов | ||
А |
В |
С | ||
Рабочее время продавцов
Площадь торговых залов
Площадь складских помещений
Доход |
0,1
0,05
3
3 |
0,2
0,02
1
5 |
0,4
0,02
2
4 |
1100
120
8000
макс. |
Запишем математическую модель:
х1, х2, х3- количество продаваемых товаров.
Доход (целевая функция) определяется:
F(X) =max(3х1+ 5х2+ 4х3)
При условии:
х1 ≥ 0; х2 ≥ 0; х3 ≥ 0;
и ограничениях:
0,1х1 + 0,2х2 + 0,4х3 ≤ 1100
0,05х1 + 0,02х2 + 0,02х3 ≤ 120
3х1 + х2 + 2х3 ≤ 8000
Для построения первого опорного плана приведем запись ОЗЛП в канонической форме:
F(X)=max(3х1 + 5х2 + 4х3)
При условии:
х1 ≥ 0; х2 ≥ 0; х3 ≥ 0;
и ограничениях
0,1х1 + 0,2х2 + 0,4х3 + х4 = 1100
0,05х1 + 0,02х2 +0,02х3 + х5 = 120
3х1 + х2 + 2х3 + х6 = 8000
Запишем математическую модель в векторном виде:
F(X) =max(C•X) где С = (3 5 4 0 0 0 ) – вектор-строка из коэффициентов целевой функции
х1
х2
Х= х3- вектор-столбец переменных
х4
х5
х6
при условии: вектор Х ≥ 0
и ограничениях: А• Х= Р0,
где матрица:
0,1 0,2 0,4 1 0 0 1100
А= 0,05 0,02 0,02 0 1 0 Р0= 120
3 1 2 0 0 1 8000
Находим первый опорный план.
Базисные переменные: х3; х4; х5.
Свободные переменные: х1=0; х2=0; х3=0;
В этом случае значения базисных переменных равны значениям свободных членов. Построим таблицу:
Коэффициенты целевой функции |
3 |
5 |
4 |
0 |
0 |
0 |
| ||
План |
Базисные переменные |
Значения базисных переменных |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х6 |
zi |
1 |
х4
x5
x6
|
1100
120
8000 |
0,1
0,05
3 |
0,2
0,02
1 |
0,4
0,02
2 |
1
0
0 |
0
1
0
|
0
0
1 |
|
Индексная строка |
F(X) |
0 |
- 3 |
- 5 |
-4 |
0 |
0 |
0 |
|