Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ММО / ММО / ЛР№3 ММО.doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
185.86 Кб
Скачать

Тема: Нахождение опорного (базисного) решения методами Гаусса и м-базиса

  1. Цель работы

    1. Изучить метод нахождения опорного плана методом Гаусса.

    2. Изучить метод нахождения опорного плана методом М-базиса.

2. Теоретические сведения

Для решения задач линейного программирования существуют специальные методы. Общим методом решения всех этих задач является симплексный метод.

Принцип нахождения оптимального решения в симплексном методе состоит в следующем. ОЗЛП записывается в канонической форме. Т.е. все переменные неотрицательны, все ограничения имеют вид уравнений, целевая функция стремится к мин. (Если необходимо получить макс. то целевую функцию умножают на –1).

Область, описываемая линейными уравнениями, представляет собой многогранник в пространстве n переменных. Оптимальное решение задачи соответствует одной из вершин этого многогранника.

Если система m независимых линейных уравнений с n переменными совместима (n>m), то она имеет множество решений. В этих решениях количество переменных (n-m) могут принимать произвольные значения (их называют свободными переменными), а остальные m переменных, которые выражают через свободные, называют базисные переменные.

Базисным решением называют такое, в котором все свободные переменные равны нулю. Если при этом базисные переменные оказываются неотрицательными, то это решение называется опорным.

Алгоритм симплекс-метода состоит из двух этапов

отыскания опорного решения

отыскание оптимального решения

Для получения начального опорного решения используются два способа

  • метод Гаусса(метод последовательного исключения переменных)

  • способ искусственного базиса или М-базиса.

2.1 Метод Гаусса

В канонической форме линейной задачи базисными переменными возьмем дополнительные переменные. Для получения базисного решения, все оставшиеся свободные переменные приравняем к нулю. Получим систему m уравнений с m переменными. Данную систему можно решить методом Гаусса (метод исключения). Он состоит в следующем:

  • Систему уравнения приводят к эквивалентной ей треугольной системе. Это называется прямым ходом.

  • Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок – обратный ход

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования :

  • Деление или умножение коэффициентов и свободных членов на одно и то же число

  • Сложение и вычитание уравнений

  • Перестановку уравнений системы

  • Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю

Пример.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

5х1 - х2 + 2х3 =8

х1 + 4х2 - х3 = - 4 (1)

х1 + х2 + 4х3 = 4

Исключим, сначала неизвестное х1 из 2-го и 3-го уравнения системы (1), используя первое уравнение.

Уравнение, с помощью которого преобразуют остальные уравнения называют разрешающим уравнением, а коэффициент этого уравнения при исключаемом неизвестном, называют разрешающим (главным) элементом.

В примере разрешающее уравнение первое, разрешающий элемент равен 5.

Разделим первое уравнение на 5 и вычтем из первого и третьего уравнений системы. Получим систему (2)

х1- (1/5)х2 + (2/5)х3 = 8/5

(21/5) х2 - (7/5)х3 = - (28/5) (2)

(6/5)х2 + (18/5)х3 = (12/5)

Теперь второе уравнение будет разрешающим с разрешающим элементом (21/5). Разделим второе уравнение системы (2) на (21/5), получим второе уравнение. Умножим его на (6/5) и вычтем преобразованное второе уравнение из третьего. Получим систему (3):

х1 - (1/5)х2 + (2/5)х3 = 8/5

х2 - (1/3)х3 = - (4/3) (3)

х3 = 1.

Эти преобразования являются прямым ходом в методе Гаусса.

Умножим третье уравнение на (1/3) и вычтем его из второго. Затем третье уравнение умножим на (2/5) и вычтем его из первого. Получим систему (4):

х1 - (1/5)х2 = 6/5

х2 = - 1 (4)

х3 = 1.

Далее умножим второе уравнение системы (4) на (-1/5) и вычтем его из первого уравнения. Окончательно имеем систему (5):

х1 = 1

х2 = - 1 (5)

х3 = 1.

Это и есть решения системы (1).

Выполнение подстановок – обратный ход метода Гаусса.

Как видно из примера мы все преобразования выполняем с коэффициентами при неизвестных.

В общем случае

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1;

a21x1+ a22x2+…+ a2nxn =b2;

………………………….

an1x1+ an2x2+…+ annxn =bn;

Алгоритм отыскания решения системы m линейных уравнений методом Гаусса, с помощью ЭВМ, имеет следующие основные шаги:

  1. коэффициенты аij и свободные члены bi системы размещаются в памяти ЭВМ в форме матрицы

а11 а12 … а1n a1 n+1

а21 а22 … а2n a2 n+1

А= ………..…………………

а n1 аn2 … аnn an n+1

где а1,n+1= b1 …

  1. ищем максимальный по модулю коэффициент в столбце.

  2. переставляем к-тую строку с первой строкой, содержащей максимальный коэффициент.

  3. Преобразовываем все коэффициенты к–той строки путем деления на максимальный.

  4. Преобразовываем с помощью к-той строки остальные строки к+1 - n.

  5. Выполняем обратный ход Гаусса. Высчитываем значения переменных.

  6. Построим опорный план, используя метод Гаусса

Пример.

Коммерческое предприятие реализует три группы товаров (А, В, С). Плановые нормативы затрат ресурсов на 1т в рублях товарооборота, доход от продажи товаров на 1 т в рублях товарооборота, а так же объем ресурсов заданы. Определить плановый объем продаж и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимальным.

Плановые нормативы затрат ресурсов. Таблица 1

Виды ресурсов

Нормы затрат на 1т в рублях товарооборота.

Объем ресурсов

А

В

С

Рабочее время продавцов

Площадь торговых залов

Площадь складских помещений

Доход

0,1

0,05

3

3

0,2

0,02

1

5

0,4

0,02

2

4

1100

120

8000

макс.

Запишем математическую модель:

х1, х2, х3- количество продаваемых товаров.

Доход (целевая функция) определяется:

F(X) =max(3х1+ 5х2+ 4х3)

При условии:

х1 ≥ 0; х2 ≥ 0; х3 ≥ 0;

и ограничениях:

0,1х1 + 0,2х2 + 0,4х3 ≤ 1100

0,05х1 + 0,02х2 + 0,02х3 ≤ 120

1 + х2 + 2х3 ≤ 8000

Для построения первого опорного плана приведем запись ОЗЛП в канонической форме:

F(X)=max(3х1 + 5х2 + 4х3)

При условии:

х1 ≥ 0; х2 ≥ 0; х3 ≥ 0;

и ограничениях

0,1х1 + 0,2х2 + 0,4х3 + х4 = 1100

0,05х1 + 0,02х2 +0,02х3 + х5 = 120

1 + х2 + 2х3 + х6 = 8000

Запишем математическую модель в векторном виде:

F(X) =max(C•X) где С = (3 5 4 0 0 0 ) – вектор-строка из коэффициентов целевой функции

х1

х2

Х= х3- вектор-столбец переменных

х4

х5

х6

при условии: вектор Х ≥ 0

и ограничениях: А• Х= Р0,

где матрица:

0,1 0,2 0,4 1 0 0 1100

А= 0,05 0,02 0,02 0 1 0 Р0= 120

3 1 2 0 0 1 8000

Находим первый опорный план.

Базисные переменные: х3; х4; х5.

Свободные переменные: х1=0; х2=0; х3=0;

В этом случае значения базисных переменных равны значениям свободных членов. Построим таблицу:

Коэффициенты целевой функции

3

5

4

0

0

0

План

Базисные переменные

Значения

базисных переменных

х1

х2

х3

х4

х5

х6

zi

1

х4

x5

x6

1100

120

8000

0,1

0,05

3

0,2

0,02

1

0,4

0,02

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Индексная строка

F(X)

0

- 3

- 5

-4

0

0

0