Практика по дисциплине «Математические методы оптимизации» практика 1 страница 1

Практика 1 Методы одномерной оптимизации.

1. Метод сканирования.

Метод сканирования заключается в последовательном переборе всех значений a≤x≤b с шагом ε (погрешность решения) с вычислением критерия оптимальности R в каждой точке. Путем выбора наибольшего из всех вычисленных значений R и находится решение задачи x*.

Достоинство метода сканирования состоит в том, что можно найти глобальный максимум критерия, если R(x) – многоэкстремальная функция.

К недостаткам данного метода относится значительное число повторных вычислений R(x), что в случае сложной функции R(x) требует существенных затрат времени.

На практике можно реализовать одну из основных модификаций метода:

1. последовательное уточнение решения (сканирование с постоянным шагом);

2. сканирование с переменным шагом.

Рис. Модифицированный метод сканирования:

1 – интервал, включающий в себя искомый максимум функции после первого этапа сканирования (исходный участок разбит на 5 участков );

2 – то же, после второго этапа.

На первом этапе сканирование осуществляется с крупным шагом, затем отрезок, внутри которого получено наибольшее значение R(x), разбивается на более мелкие отрезки, ищется новый отрезок, внутри которого находится уточнённое значение максимума.

Новый отрезок опять делится на более мелкие отрезки и так далее до тех пор, пока величина отрезка, содержащего максимальное значение R(x), не будет меньше заданной погрешности. Главный недостаток этого варианта метода – возможность пропуска строгого глобального максимума.

2. Метод деления отрезка пополам.

Метод основан на делении текущего отрезка [a,b], где содержится искомый экстремум, на две равные части; с последующим выбором в качестве следующего текущего отрезка одной из половин, в которой локализуется максимум,. Экстремум локализуется путём сравнения двух значений критерия оптимальности в точках, отстоящих от середины отрезка на Е/2, где Е – погрешность решения задачи оптимизации.

Если R (х+Е/2)>R(x-Е/2), то максимум располагается на правой половине текущего отрезка [a,b], в противном случае – на левой. Процесс поиска завершается при достижении отрезка [a,b] величины заданной погрешности Е. К недостаткам метода относится его работоспособность только для одноэкстремальных функций R(x). (Функция R(x) называется одноэкстремальной, если содержит один экстремум того типа, который мы ищем в задаче). В других случаях, при сравнении двух критериев оптимальности в соседних точках, невозможно правильно выбрать следующий интервал, где находится максимум.

Существует и другой вариант алгоритма, заключающийся в следующем. После нахождения середины отрезка в одной из половин, находят среднюю точку и, сравнивая значения функций в этих точках, распределяют, в какой из половинок находиться экстремум. Если R(C₁)<R(C₂), то в качестве следующего отрезка выбираем отрезок [a,c₁], если R(C₁)>R(C₂), то берут новую точку в середине правой половины и в ней вычисляют функцию. В зависимости от сравнения значений функций в точках С₃ и С₁ и выбирают новый отрезок [с₁,b] или [c₂, c₃] и т.д.

Второй вариант метода не имеет с точки зрения эффективности принципиального отличия от первого, так как эффективность принято оценивать по наихудшему варианту.

Малое отклонение от текущей точки обеспечивают в процессе поиска отсутствие шатаний, сопровождающихся резкими отклонениями состояния системы.

Пример: Дана функция R(x)=DSin(Ax+C), где коэффициенты имеют следующие значения: А=1,0; В=1,0; С=1,0; D=1,0. Найти максимум функции на следующем интервале: [-1;2]. Ошибка задается по х: Е=0,05

Результаты расчетов:

Середина отрезка х₀ = 0,5

Значения критерия R₀=0.9975

Значение R(0.5-Е/2)=R(0.475)=0.97922273

Значение R(0.5+Е/2)=R(0.525)=0.9989513

Следовательно, искомый максимум лежит в правой половине отрезка, то есть теперь отрезком является [0.5;2].

Далее приведем координаты середины отрезков с номером итерации, значение критерия в них и указывается новый отрезок (правый или левый).

№ итерации	х	R/x	отрезок
1	X1=1.25	R1=0.77807320	Левый
2	X2=0.875	R2=0.95408578	Левый
3	X3=0.6875	R3=0.993193785	Левый
4	X4=0.59375	R4=0.99973658	Левый
5	X5=0.546875	R5=0.997139

(х₄-х₅)<E, поэтому решение находиться в области найденных значений или середину между ними. Всего 8 раз (4*2=8) вычислялся критерий оптимальности.