2.2 Искусственный базис (м - базис)

Исходную ОЗЛП представленную в виде:

F = min (c₁x₁+….+c_nx_n)

при условии х_i > 0 и

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +…+ a_1nx_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +…+ a_2nx_n = b₂; (6)

………………………….

a_m1x₁ + a_m2x₂ +…+ a_mnx_n =b_m;

заменяем расширенной задачей следующим образом:

а) Свободные члены ( b_i ) должны быть неотрицательны.

б) К каждому уравнению добавляется по одной неотрицательной переменной z_i (i=1,2,….m)

в) К целевой функции добавляем сумму переменных z_i, умноженную на большое число М (допустим на три порядка больше коэффициентов a_i, b_i, c_i)

В результате получаем:

F = min [(c₁x₁+….+c_nx_n)+M(z₁+z₂+_…+z_m)]

при условии х_i > 0 и ограничениях:

a^*₁₁x₁ + a^*₁₂x₂ +…+ a^*_1nx_n + у₁ = b^*₁;

a^*₂₁x₁ + a^*₂₂x₂ +…+ a^*_2nx_n + у₂ = b^*₂; (7)

………..………………………….

a^*_m1x₁ + a^*_m2x₂ +…+ a^*_mnx_n + у_m= b^*_m;

где a^*_I= a_i если b_i ≥ 0 b^*_I= b _i если b_i ≥ 0

-a_i если b_i ≤ 0 -b_i если b_i ≤ 0

В задаче (7) опорное решение получим, приняв в качестве базисных переменных у_i,. Оно имеет вид при х_1,…..x_n =0;

у₁=b ^*₁;…. у_m = b^*_m

Пример.

Определить состав продуктов на сутки, содержащий необходимые питательные вещества и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.

Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов. Таблица 2

Питательные вещества	Нормы суточной потребности	Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов
		Молоко	Масло	Сыр	Крупа	Картофель
Белки, г	118	30	70	260	130	21
Жиры ,г	56	40	865	310	30	2
Углеводы, г	500	50	6	20	650	200
Минеральные вещества, г	8	7	12	60	20	70
Стоимость 1 кг продукта		8	60	70	10	4
Количество продуктов		х1	х2	х3	х4	х5

Составляем математическую модель.

Целевая функция имеет вид:

F(X) = max (8x₁ + 60x₂ +70x₃ +10x₄ +4x₁+ M•(y₁+ y₂ +y₃ +y₄))

При ограничениях:

30x₁ + 70x₂ + 260x₃ + 130x₄ + 21x₅ + у₁ = 118

40x₁ + 865x₂ + 310x₃ + 30x₄ + 2x₅ + у₂ = 56

50x₁ + 6x₂ + 20x₃ + 650x₄ + 200x₅ + у₃ = 500

7x₁ + 12x₂ + 60x₃ + 20x₄ + 70x₅ + у₄ = 8

Выразим у₁ – у₄ через основные переменные

у₁ = 118 - 30x₁ - 70x₂ - 260x₃ - 130x₄ - 21x₅

у₂ = 56 - 40x₁ - 865x₂ - 310x₃ - 30x₄ - 2x₅

у₃ = 500 - 50x₁ - 6x₂ - 20x₃ - 650x₄ - 200x₅

у₄ = 8 - 7x₁ - 12x₂ - 60x₃ - 20x₄ - 70x₅

Найдем значение целевой функции при x₁= x₂= x₃= x₄= x₅=0 (свободные переменные)

F(х)= max (M(118 - 30x₁ - 70x₂ - 260x₃ - 130x₄ - 21x₅ + 56 - 40x₁ -865x₂ –

-310x₃ - 30x₄ - 2x₅ + 500 - 50x₁ - 6x₂ - 20x₃ - 650x₄ - 200x₅ +8 - 7x₁ - 12x₂ –

-60x₃ - 20x₄ -70x₅))

F(x) = M (682 - 127x₁ - 953x₂ - 650x₃ - 830x₄ - 293x₅)

Начальный опорный план задачи. Таблица 3

Коэффициенты целевой функции			-127	-953	-650	-830	-293	0	0	0	0
План	Базисные переменные	Значения базисных переменных	х1	х2	х3	х4	х5	y1	y 2	y3	y4	zi
1	y1 y2 y3 y4	118 56 500 8	30 40 50 7	70 865 6 12	260 310 20 60	130 30 650 20	21 2 200 70	1 0 0 0	0 1 0 0	0 0 1 0	0 0 0 1
Индексная строка	F(X)	682*М	127*М	953*М	650*М	830*М	293*М	0	0	0	0

Где М = 100000