ГОС / 31

31. Распространение света в среде. Отражение и преломление света. Поглощение и дисперсия света, фазовая и групповая скорости. Рассеяние света. Атмосферные оптические явления.

Рассеяние света. В идеальном кристалле, если d<λ, кристалл ведет себя по отношению к волне как идеальная среда, не имеющая рассеивающих центров. d<λ- условие однородности кристалла.

Межплоскостное расстояние d в кристаллах порядка нескольких ангстрем (0,1 нм), λ- длина волны видимого света 400 – 700 нм. Поэтому по отношению к свету идеальный кристалл ведет себя как однородная среда, свет не должен рассеиваться. Электромагнитная волна, проходя в вещество, возбуждает вынужденные колебания электронов, которые излучают вторичные волны. Поскольку d<λ, то первичная и вторичные волны когерентны. Они интерферируют. В результате интерференции в однородной изотропной среде образуется проходящая волна, скорость которой зависит от частоты, направление совпадает с направлением падающей. Скорость света в среде меньше скорости света в вакууме u<c. Длина волны рентгеновских лучей порядка 0,1 – 10 нм (d~λ), этот кристалл ведет себя как неоднородная среда.

Реальный кристалл имеет ряд дефектов, которые нарушают его однородность. Волны, рассеянные этими дефектами, не когерентны, вследствие чего рассеянные волны наблюдаются во всевозможных направлениях. Теория рассеяния на оптически неоднородных средах разработана в 1907г Мандельштамом.

Рассеяние на флуктуациях (в кристаллах, жидкостях, газах) называется молекулярным рассеянием. Рассеяние на вкраплениях (дым, туман, молоко) в мутных средах – рассеяние на неоднородностях.

Сильнее рассеиваются короткие волны (фиолетовые, синие). Теория рассеяния света в зависимости от длины волны разработана Рэлеем. В рассеивающих центрах под действием электромагнитной волны возникают вынужденные колебания с частотой падающей волны, интенсивность которых ~ν⁴=1/λ⁴. Интенсивность рассеянного света

I_расс~ν⁴=1/λ⁴ – закон Рэлея.

Закон Рэлея объясняет цвет неба (при восходе и закате Солнца – красный, в полдень – голубой, из космоса – черный). Закон Рэлея объясняет, почему кристалл не рассеивает звуковые и ультразвуковые волны (λ_{ульразв}~1мм>d).

Отражение и преломление света. На границе раздела двух сред происходит отражение и преломление света (рис.1).

Пусть падающая, прошедшая и отраженна волны описываются уравнениями 1,2 и 3 соответственно: E₁=E_o1cos(ωt-k₁r₁), ( 1)

E₂=E_o2cos(ωt-k₂r₂), ( 2 )

E_oтp=E⁰_oтpcos(ωt-k_oтpr_oтр+φ)= ±E⁰_oтр(ωt-k_oтpr_oтр). ( 3 )

φ- при отражении может быть равно или 0 или π.

Рис.1.

Выражения 1, 2, 3 можно преобразовать.

Из рисунка для падающей волны: MN=MK+KN; MN=r₁; Mk=ycosα₁; KN=xsinα₁; r₁=xsinα₁+ycosα₁. ( 4 )

Аналогично для отраженных и преломленных лучей:

r₂=xsinα₂+ycosα₂, ( 5 )

r_oтp=xsinα_oтp+ycosα_oтp. ( 6 )

Уравнения всех трех волн примут вид:

E₁=E₀₁cos(ωt-k₁xsinα₁-k₁ycosα₁), ( 7 )

E₂=E₀₂cos(ωt-k₂xsinα₂-k₂ycosα₂), ( 8 )

E_oтp=±E⁰_oтpcos(ωt-k_oтpxsinα_oтp-k_oтpycosα_oтp). ( 9 )

Смещение точки в преломленной волне Е₂ есть алгебраическая сумма смещений, вызванных падающей и отраженной волнами (уравнение неразрывности)

Е₁+Е_отр=Е₂. ( 10 )

Подставляя 7, 8 и 9 в 10 с учетом, что на границе раздела y=0, получим:

E₀₁cos(ωt-k₁sinα₁)±E⁰_oтpcos(ωt-k_oтpxsinα_oтp)=E₀₂cos(ωt-k₂xsinα₂). ( 11 )

Равенство ( 11 ) должно выполняться в любой момент времени и для любой абсциссы x. Это возможно, если аргументы во всех членах равенства будут равны, т. е.

ωt-k₁xsinα₁=ωt-k_oтpxsinα_oтp=ωt-k₂xsinαα₂,

или к₁sinα₁=k_oтpsinα_oтp; k₁sinα₁=k₂sinα₂. ( 12 )

Поскольку падающая и отраженная волны находятся в одной среде, то у них к₁=к_отр=ω/u₁, тогда из ( 12 ) следует sinα₁=sinα_oтp

или α₁= α_oтp . ( 13 )

Используя второе равенство ( 12 ), и учитывая что частота падающей и преломленной волн одинаковы, т. к. частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы, а k₁=ω/u₁; к₂=ω/u₂

получим что ( 14 )

Для света, подающего из вакуума ( 14’ )

( 14 ), ( 14’ )- закон преломления электромагнитных волн.

n- относительный показатель преломления среды относительно вакуума.

При падении света на границу раздела двух сред в результате интерференции возникают отраженная и проходящие волны. Т.о. отражение света происходит не от геометрической поверхности раздела, а от более или менее значительного слоя частиц среды, прилегающих к границе раздела.

Дисперсия света. Зависимость показателя преломления n от частоты (от длины волны) падающего света называется дисперсией. Т. к. фазовая скорость u_ф=c/n, то можно сказать, что дисперсия – это зависимость фазовой скорости от частоты. Скорость света в вакууме с не зависит от частоты. Из теории Максвелла следует, что n=√ε. ε - диэлектрическая проницаемость среды зависит от частоты. Тогда дисперсию можно рассматривать как следствие зависимости ε от ν. Разным частотам соответствуют разные показатели преломления (n=√¯ε¯). Величина относительной диэлектрической проницаемости ε обусловлена или ориентационной поляризацией в постоянных электрических полях или электронной поляризацией (вынужденными колебаниями электронов в атомах, молекулах или ионах среды). Поэтому, например, для воды в статических полях ε=81 (n≠ 9), а в переменном электрическом поле световой волны (ν~10¹⁵Гц) в переменных полях n = 1,33, что соответствует ε~ 1,77. Оказывается, что если частота электрического поля при измерении ε совпадает с частотой падающего света, то равенство n=√ε хорошо выполняется даже для полярных молекул.

На рисунке 2 представлена дисперсионная кривая. На участках аб и cd с увеличением частоты падающего света показатель преломления увеличивается. Это нормальная дисперсия. На участке бc с ростом частоты показатель уменьшается; это аномальная дисперсия.

Рис. 2.

Теория дисперсии разработана Лоренцем в конце Х1Х начале ХХ веков (электронная теория дисперсии). Согласно этой теории зависимость показателя преломления n от частоты (без учета сил сопротивления) определятся формулой (один электрон, много электронов в атоме):

где е- заряд электрона, m- масса электрона, N₀- концентрация электронов, ω_о- собственная частота, ω- частота падающего света.

Поглощение света. По мере распространения плоской световой волны в веществе ее интенсивность постепенно уменьшается. Это явление называется поглощением света. Оно связано с преобразованием энергии электромагнитного поля в другие виды энергии (чаще в энергию хаотического теплового движения частиц вещества).

Интенсивность прошедшего монохроматического света через слой вещества толщиной х описывается уравнением (законом Бугера-Ламберта ) :

где х- толщина слоя вещества, μ- коэффициент поглощения, μ зависит от длины волны света, химической природы и состояния вещества, при малых интенсивностях μ не зависит от интенсивности света, I₀- интенсивность падающего света.

В растворе поглощающего вещества концентрацией с в не поглощающем растворителе коэффициент поглощения монохроматического света определяется формулой: μ=μ₁с – закон Бера.

Диэлектрики поглощают свет избирательно в зависимости от частоты падающего света. Поглощение велико в области частот близких к частотам собственных колебаний электронов в атомах и атомов в молекулах. Для всех остальных частот коэффициент близок к нулю (диэлектрик прозрачен).

Особо избирательное поглощение проявляется у одноатомных газов. Наблюдается линейчатый спектр поглощения. Максимум поглощения наблюдается в области аномальной дисперсии ( рис.3 ).

У газов с многоатомными молекулами наблюдается система тесно расположенных линий поглощения, образующих полосы поглощения. Структура этих полос определяется составом и строением молекул.

Рис.3.

Металлы в конденсированном состоянии, практически, не прозрачны для видимого света, что обусловлено наличием свободных электронов. В электрическом поле световой волны электроны совершают колебания и излучают вторичные волы. При прохождении очень тонких слоев металлов (~500 А⁰) в области видимого и особенно ультрафиолетового света наблюдается заметная зависимость коэффициента поглощения от частоты (через алюминиевую пленку проходит голубой свет, через золотую – зеленый). В газообразном состоянии – металлы диэлектрики.

При больших интенсивностях наблюдается отклонение от закона Бугера, отступление от осцилляторной теории (С. И. Вавилов). Это отступление объясняется на основе квантовой теории. При поглощении света часть молекул переходит в возбужденное состояние и их поглощательная способность изменяется. Если доля этих молекул невелика, т.е. если их среднее время жизни мало τ~10^-8с, то μ не зависит от I₀. Для некоторых веществ время жизни в возбужденном состоянии достаточно велико τ>10^-4 с, тогда доля возбужденных молекул велика и коэффициент μ уменьшается с ростом I₀.

В 1940г. Фабрикантом В.А. показано, что можно осуществить такое неравновесное состояние вещества, что μ станет отрицательным. Это возможно тогда, когда число атомов, поглощающих свет (не возбужденных), станет меньше числа атомов, переходящих вынужденно из возбужденного состояния в не возбужденное, излучающих свет. Среду с отрицательным коэффициентом поглощения используются для создания квантовых усилителей радиоволн и видимого света (мазеров, лазеров).

Эффект Доплера в оптике. Особой среды, которая служила бы носителем электромагнитных волн, не существует. Поэтому Доплера смещение частоты световых волн определяется только относительной скоростью источника и приемника (рис. 4).

Пусть свет от источника идет вдоль оси х, испущенный источником в системе отсчета К. К – неподвижная. Приемник находится в системе К', движущейся со скоростью v относительно К.

Рис. 4.

Уравнение плоской световой волны. испущенной источником по направлению к источнику будет иметь в системе К вид: E(x,t)=E₀cos[2πν(t-x/c)+α], ( 1 )

Где ν – частота света, испущенного источником в системе К. Предположим, что свет распространяется в вакууме, поэтому его фазовая скорость равна с.

Согласно принципу относительности законы природы во всех инерциальных системах отсчета имеют одинаковый вид. Следовательно уравнение волны в системе К' имеет следующий вид: E(x',t')=E₀'[2πν'(t'-x'/c)+α'], ( 2 )

где ν' – частота, фиксируемая в системе К', т.е. частота, воспринимаемая приемником.

Уравнение плоской волны в системе К' можно получить из уравнения ( 1 ), перейдя от х и t к х' и t' с помощью преобразований Лоренца

( 3 )

( 4 )

Сравнивая ( 2 ) и ( 4 ), необходимо положить что

( 5 )

В ( 5 ) v – величина алгебраическая.

При удалении приемника v>0, так что ν'<ν, при приближении приемника

v<0, а тогда ν'>ν.

Для сравнения в акустике:

( 6 )

В выражении ( 6 ) V – скорость звука, ν – частота, воспринимаемая приемником, ν₀- частота, излучаемая источником. Если источник и приемник сближаются, то v_пр>0 и v_ист>0. Различие ( 5 ) и ( 6 ): в ( 6 ) входят раздельно скорость регистрирующего прибора v_пр и скорость источника v_ист. И формулу ( 5 ) входит лишь относительная скорость v приемника относительно источника. Т.о. явление Доплера, как и другие физические явления, не позволяют обнаружить абсолютное движение какой – либо системы.

Поперечный эффект Доплера в оптике. Волна распространяется в произвольном направлении

При распространении света в направлении перпендикулярном скорости движения системы ( φ=π/2)

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА В АКУСТИКЕ

1. Источник и приемник неподвижны.

Обозначим v_ист, v_пр- соответственно скорости источника и приемника относительно среды, V- скорость звука. ν – частота воспринимаемая приемником ν₀- частота излучаемая источником. При неподвижных приемника и источника ν = ν₀ .

Через приемник за одну секунду проходит ν = V/λ число волн.

2. Приемник (наблюдатель) движется в сторону источника (рис.6а), источник неподвижен v_пр > 0. За одну секунду приемник пройдет путь

равный v_пр·1. На этом пути уложится дополнительно ν₂ длин волн. Источник ловит больше длин волн. Общее число волн прошедших мимо приемника

ν₁ + ν₂ = V/λ + v_пр/λ = (V+v_пр)/λ=V/λ(1+ v_пр/V) = ν₀(1+v_пр/V).

Частота, воспринимаемая приемником ν, больше частоты ν_0, излучаемой источником.

3. источник движется (рис.6б) в сторону приемника v_ист >0, приемник неподвижен . Испускаемая волна как бы сокращается на v_ист·T₀. Тогда длина волны, испускаемая источником λ = λ₁ – v_истT₀ = T₀(V – v_ист).

За счет сокращения длины волны частота, воспринимаемая приемником, будет

ν = V/λ = V(T₀(V-v_ист)) = ν₀/(1 – v_ист/V).

Частота, воспринимаемая приемником, больше частоты, излучаемой источником.

4. Источник и приемник движутся на встречу друг другу v_пр > 0, v_ист > 0 (сближаются). Частота, воспринимаемая приемником, будет равна:

Если приемник и источник удаляются, то v_пр < о и v_ист < 0.

5. Источник и приемник движутся под углом (рис. 6в) к линии, их соединяющей.

Частота, воспринимаемая приемником, будет

6. Поперечный эффект Доплера в оптике. (Волна распространяется в произвольном направлении).

При распространении света в направлении перпендикулярном скорости движения системы (φ=π/2).