ГОС / 27

27. Колебательный контур. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс. Генерация незатухающих колебаний.

Колебательный контур, электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности и конденсатор, в которой могут возбуждаться электрические колебания. Если в некоторый момент времени зарядить конденсатор до напряжения V₀, то энергия, сосредоточенная в электрическом поле конденсатора, равна Е_с = , где С — ёмкость конденсатора. При разрядке конденсатора в катушке потечёт ток I, который будет возрастать до тех пор, пока конденсатор полностью не разрядится. В этот момент электрическая энергия колебательного контура E_c = 0, а магнитная, сосредоточенная в катушке, E_L=, где L — индуктивность катушки, I₀ — максимальное значение тока. Затем ток в катушке начинает падать, а напряжение на конденсаторе возрастать по абсолютной величине, но с противоположным знаком. Спустя некоторое время ток через индуктивность прекратится, а конденсатор зарядится до напряжения — V₀. Энергия колебательного контура вновь сосредоточится в заряженном конденсаторе. Далее процесс повторяется, но с противоположным направлением тока. Напряжение на обкладках конденсатора меняется по закону V = V₀ cos w₀t, а ток в катушке индуктивности I = I₀ sin w₀t, т. е. в колебательном контуре возбуждаются собственные гармонические колебания напряжения и тока с частотой w₀ = 2 π/T₀, где T₀ — период собственных колебаний, равный T₀ = 2π. В К. к. дважды за период происходит перекачка энергии из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки индуктивности и обратно.

Общее уравнение колебательного контура.

Т.к. процессы в цепи происходят со скоростью света, то можно считать, что в каждой точке цепи все токи будут одинаковы и для мгновенных значений токов и напряжений справедлив закон Ома. Токи изменениями которых можно пренебречьназываются квазистационарными.

, ,

, - собственная частота колебательного контура, - коэффициент затухания.

- дифференциальное уравнение колебательного контура.

Свободные колебания: а) без учёта затухания: , . ,

решение: .

- формула Томсона.

б) с учётом затухания: . ,

решение: .

Амплитуда со временем уменьшается по экспоненциальному закону.

- циклическая частота затухающих колебаний.

, , затухание незначительное.

Если , то колебания возникать не будут, так называемый апериодический режим работы колебательного контура.

, если - апериодический режим. Вся энергия конденсатора идёт на работу по нагреванию активных элементов контура.

,

ток отстаёт.

Введём параметры затухания для затухающих колебаний.

1) - коэффициент затухания.

2) Время релаксации τ в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

.

3) Логарифмический декремент затухания, характеризует степень затухания.

.

4) Период затухающих колебаний: .

Если .

5) Добротность Q – энергетическая характеристика контура. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание.

, .

Вынужденные колебания: а) без учёта затухания:

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Решение будем искать в виде . Подставив в уравнение получим уравнение для :.

Откуда . Общее решение однородной части уравнения является линейной комбинацией и . Зная общее решение однородной части уравнения и частное решение можно составить общее решение неоднородного уравнения (3.2):

.

Раскачка из состояния покоя.

Пусть .

-резонансный член, возникает неограниченный рост амплитуды.

б) с учётом затухания: ,

Общее решение такого неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Эти два слагаемых соответствуют свободным затухающим колебаниям и незатухающим колебаниям с частотой вынуждающей силы. По истечении некоторого промежутка времени решение уравнения будет совпадать с частным решением.

Описываемый им режим движения называется установившимся режимом вынужденных колебаний. Соответству­ющее выражение имеет вид

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы:

.

Величина характеризует отставание по фазе вынужденного колебания от обусловившего это колебание внешнего воздействия. Следует отметить, что установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающего воздействия W, а не с собственной частотой. При W = 0 выражение дает статическое отклонение

. (5)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающего воздействия (рис.) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной колебательной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к некоторому значению называют явлением резонанса (резонансом). Резонансную частоту находят, приравнивая нулю производную , откуда , .

Рис. Резонансная кривая для зарядов.

Резонансная кривая это зависимость амплитуды вынужденных колебаний (величина перед cos для заряда и sin для тока) от частоты вынуждающей силы Ω.

Генераторы почти гармонических колебаний. Если в генераторе с колебательными цепями потери в контуре или резонаторе малы (высокая добротность колебательной системы), то форма колебаний в них близка к синусоидальной и их называют генераторами почти гармонических колебаний или томсоновскими генераторами. Ламповый генератор. Простейший ламповый генератор почти гармонических колебаний состоит из колебательного контура и электронной лампы (например, триода) с питанием и управляющей цепью (рис.). В контуре под влиянием случайных электрических колебаний возникают собственные колебания тока и напряжения. Однако из-за потерь энергии в контуре колебания должны затухать. Чтобы колебания не затухали, необходимо пополнять запас колебательной энергии в контуре, например воздействуя на него пульсирующим током с той же частотой и с определённой фазой. Это осуществляется с помощью триода. Переменное напряжение, подводимое от контура к сетке триода, вызывает изменение его анодного тока. В результате в анодном токе появляются пульсации, которые при правильном подборе фазы напряжения, подаваемого на сетку лампы (цепь обратной связи), будут пополнять колебательную энергию контура.

  Если усилительные свойства лампы таковы, что пополнения колебательной энергии превосходят потери колебательной энергии за то же время в самом контуре, то амплитуда начальных колебаний, возникших в контуре, будет нарастать. По мере роста амплитуды колебаний усиление лампы уменьшается за счёт нелинейности вольтамперной характеристики триода и в системе установится стационарная амплитуда генерируемых колебаний. Подобные системы, генерирующие стационарные колебания, частота и форма которых определяются свойствами самой системы, называют автоколебательными системами или автогенераторами, а генерируемые ими колебания — автоколебаниями.

Рис. Простейший ламповый генератор почти гармонических колебаний:

LC — колебательный контур (С — ёмкость, L — индуктивность);

U_a — анодное напряжение.