ГОС / 25

25. Вынужденные колебания линейного гармонического осциллятора в отсутствии и при наличии сил трения. Явление резонанса. Автоколебания.

Вынужденные колебания при гармоническом внешнем воздействии.

В том случае, когда на колебательную систему оказывается периодическое внешнее воздействие, подчиняющееся гармоническому закону, колебания описываются уравнением вида:

С учетом трения:

, (1) где - коэффициент затухания, - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания, - частота вынуждающего воздействия на систему.

В

Рис.2. Колебательный контур с вынуждающим воздействием

Рис.1. Пружинный маятник с вынуждающей силой

ыражение для коэффициента зависит от вида колебательной системы и внешнего воздействия. Например, для пружинного маятника , где - амплитуда вынуждающей силы (рис 1). Для вынужденных колебаний в колебательном контуре: , где - амплитуда переменного напряжения, подаваемого на колебательный контур, - индуктивность (рис 2). Общее решение такого неоднородного дифференциального уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Эти два слагаемых соответствуют свободным затухающим колебаниям и незатухающим колебаниям с частотой вынуждающей силы. По истечении некоторого промежутка времени решение уравнения (1) будет совпадать с частным решением.

Описываемый им режим движения называется установившимся режимом вынужденных колебаний. Соответству­ющее выражение имеет вид

. (2)

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы:

. (3)

Величина (4)

характеризует отставание по фазе вынужденного колебания от обусловившего это колебание внешнего воздействия. Следует отметить, что установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающего воздействия W, а не с собственной частотой. При W = 0 выражение (3) дает статическое отклонение . (5)

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающего воздействия (рис. 3) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной колебательной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к некоторому значению называют явлением резонанса (резонансом). Резонансную частоту находят, приравнивая нулю производную , откуда (6). (7)

Рис.3. Резонансная кривая

Д ля механических колебаний при резонансной частоте внешнего воздействия, определяемой по формуле (6), достигается максимум амплитуды смещения колеблющейся величины , для электромагнитных колебаний в контуре максимум амплитуды заряда q(t). Максимум амплитуды производной (соответственно, скорости или тока) достигается при . Максимум амплитуды второй производной (соответственно, ускорения или напряжения на катушке индуктивности) достигается при . Максимум средней мощности внешнего воздействия (для механических колебаний максимум мощности внешней силы ) достигается при . Если затухание невелико, то положения всех перечисленных максимумов почти не отличаются друг от друга. При малом затухании: . (8)

В

данном случае, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса a_рез превышает отклонение системы от положения равновесия a(0) под действием постоянного воздействия той же величины, что и амплитуда вынуждающего воздействия. Это утверждение справедливо только при малом затухании. Зависимость называется резонансной кривой (см. рис.3.).

В установившемся режиме вынужденных колебаний энергия колебательной системы остается неизменной. Система непрерывно поглощает от источника внешнего воздействия энергию, которая восполняет потери, связанные с наличием затухания (сила трения при механических колебаниях, выделение теплоты на активном сопротивлении при колебаниях в контуре).

Найдем среднюю энергию, поглощаемую в единицу времени. Вычисления проведем для пружинного маятника при наличии силы трения и периодически изменяющейся внешней силы. При смещении груза на dx внешняя сила совершит работу Fdx.

Работа, совершенная в единицу времени, будет равна . Среднее значение поглощаемой в единицу времени энергии равно: . (9)

Здесь усреднение производится по одному периоду колебаний . Подставляя в интеграл (9) выражение для силы, и производную от смещения из выражения (2), получаем

, (10)

где величина j определяется выражением (4). После интегрирования находим:

. (11)

Преобразование с учетом (4) приводит к выражению:

. (7.3.12)

Учитывая, что , получаем:

. (7.3.13)

К

Рис. 4. Зависимость поглощенной энергии от частоты

ак видно, поглощаемая в единицу времени энергия зависит от частоты W. Так как имеет резонансный пик – максимум, то имеет резонансный пик – минимум (см. рис. 4) Поэтому измерения зависимости поглощенной энергии от частоты позволяют обнаружить резонансные явления и установить собственные частоты осциллирующих систем.

без учета трения: , (2.1) , (2.2), где . Найдем частное решение неоднородного уравнения. Решение будем искать в виде . Подставив в уравнение (2.2) получим уравнение для :. Откуда.

Общее решение однородной части уравнения является линеиной комбинацией и . Зная общее решение однородной части уравнения и частное решение можно составить общее решение неоднородного уравнения (3.2): .

Раскачка из состояния покоя.

Пусть .

-резонансный член, возникает неограниченный рост амплитуды.

 

   Резонансные кривые при различных уровнях затухания. 1 - колебательная система без трения; при резонансе амплитуда x_m вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 - реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной силой трения: F_тр4>F_тр3>F_тр2. На низких частотах () . На высоких частотах () .

Автоколебания, незатухающие колебания, которые могут существовать в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, причём амплитуда и период колебаний определяются свойствами самой системы. Этим автоколебания отличаются от вынужденных колебаний, амплитуда и период которых определяются характером внешнего воздействия (приставка «авто» и указывает на то, что колебания возникают в самой системе, а не навязываются внешним воздействием). Автоколебания отличаются и от свободных колебаний (например, колебаний свободно подвешенного маятника, колебаний силы тока в электрическом контуре) тем, что, во-первых, свободные колебания постепенно затухают, во-вторых, их амплитуда зависит от первоначального «толчка», создающего эти колебания. Примерами автоколебания могут служить колебания, совершаемые маятником часов, колебания струны в смычковых или столба воздуха в духовых музыкальных инструментах, электрические колебания в ламповом генераторе. Системы, в которых возникают автоколебания, называются автоколебательными.  Автоколебательные системы во многих случаях можно разделить на 3 основных элемента: 1) колебательную систему (в узком смысле); 2) источник энергии, за счет которого поддерживаются А., и 3) устройство, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему. Эти 3 основных элемента могут быть отчётливо выделены, например, в часах, в которых маятник или баланс служит колебательной системой, пружинный или гиревой завод — источником энергии, и, наконец, анкерный ход — механизмом, регулирующим поступление энергии из источника в систему.  В часах, например, автоколебания осуществляются следующим образом (рис.). При прохождении качающегося балансира 1 через определённое положение (обычно дважды за период) спусковое устройство 2 и 3 подталкивает колесо балансира, сообщая ему энергию, необходимую для того, чтобы компенсировать потерю энергии за полпериода колебаний. Балансир часов совершает автоколебания с амплитудой, целиком определяемой свойствами часового механизма. Однако для того, чтобы эти автоколебания возникли, обычно нужно не только завести пружинный завод, но и слегка встряхнуть часы, т. е. сообщить начальный толчок балансиру. Т. о., часы — это в большинстве случаев автоколебательная система без самовозбуждения. В духовых инструментах продувание струи воздуха поддерживает автоколебания столба воздуха в трубе инструмента, а в струнных смычковых инструментах автоколебания поддерживаются силой трения, действующей между смычком и струной.

Спусковой механизм часов: 1 — балансир; 2 — анкерная вилка; 3 — спусковое колесо.