ГОС / 21
.doc21. Энергия магнитостатического поля в вакууме. Магнитный поток. Коэффициенты взаимной и самоиндукции проводников с током.
Запишем выражение для энергии электромагнитного поля в вакууме:
W= (*)
WB= (7.1) - энергия магнитостатического поля в вакууме
wB= (7.2) - плотность энергии (энергия магнитостатического поля в вакууме в единице объема).
Выражения (7.1) и (7.2) говорят о том, что энергия магнитостатического поля отлична от нуля в тех областях, где вектор индукции магнитного поля отличен от нуля.
WB=
WB =
Применим теорему Гаусса-Остроградского: (**)
и третье уравнение Максвелла:
WB =
Рассмотрим все бесконечное пространство, т.е. V,
WB= (7.3)
wB= (7.4) - плотность энергии
Выражения (7.3) и (7.4) говорят о том, что энергия магнитостатического поля отлична от нуля всюду, где концентрируются токи, т.е. .
Выражения (7.1-7.4) выражают одну и ту же величину и для магнитостатического поля используются всегда. Однако (7.1) и (7.2) имеют более широкий физический смысл. Ими можно пользоваться и для переменных магнитных полей, а выражениями (7.3) и (7.4) можно пользоваться только для магнитостатических полей.
Энергия магнитостатического поля отлична от нуля всюду, где есть поле, а не только где есть токи.
Энергия магнитного поля, представляется как энергия взаимодействия элементов с током. Воспользуемся соотношением (7.3):
WB=
Для того, чтобы вычислить потенциальную энергию взаимодействия токов в объеме V и V’ мы можем воспользоваться функцией (7.3), но при этом интегрирование должно производиться по разным переменным.
WB= (7.5)
WB= (7.5’)
Энергия магнитного поля для системы линейных токов:
WB= (7.6)
Энергия магнитного поля с током прямо пропорциональна магнитному потоку и току в этом проводнике.
Рассмотрим систему линейных проводников. Энергия магнитостатического поля i-го проводника:
Wi= (7.6’) `W= (7.7)
В выражении (7.7) Φi- это полный магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную i-м контуром, Ii –это ток в i-м проводнике, создаваемый остальными токами.
Коэффициенты взаимной и самоиндукции:
WB= (*)
Перейдем к линейным проводникам:
WB= (7.8)
Lik= (7.9)
Lik зависит только от геометрических размеров и форм данных проводников, а также от их взаимного расположения и среды, в которой они находятся. Не зависит от силы тока, текущего в каждом проводнике. При этом, если i=k , то коэффициенты с индукцией Lii называются коэффициентами самоиндукции. Для одного проводника этот коэффициент называется индуктивностью. Если ik, то Lik называется коэффициентами взаимной индукции. С учетом (7.9) перепишем (7.8)
W= (7.10) – энергия магнитостатического поля системы линейных проводников.
Φi= (7.11) – сравнили (7.7) и (7.10)
Φi можно определить как магнитный поток, определяющийся токами, текущими во всех k проводниках. (7.11) удобно использовать для нахождения взаимной индукции линейных проводников.
Рассмотрим пример:
i=2
k=1,2
Φ2=I1L21+I2L22
Для того чтобы найти коэффициенты взаимной индукции проводников 1,2 удобно положить I2=0 Φ2=I1L21 L21= Φ2/I1