ГОС / 34

34. Поведение упругих волн на границе раздела изотропных сред.

Волна, приходящая на границу раздела двух сред, частично проходит через нее, а частично отражается. В зависимости от плотности этих сред процесс происходит по разному. Возможны следующие предельные случаи: а) вторая среда является менее плотной, а в пределе вообще отсутствует, б) вторая среда более плотная.

В первом случае (а) фаза отраженной волны не меняется, потери половины длины волны не происходит. Амплитуда отраженной волны будет меньше, т.к. часть энергии падающей волны будет тратится на возбуждение волны во второй среде. Проходящая волна фазу не меняет. Смещения, вызванные пришедшей и отраженной волнами, на границе раздела складываются.

Во втором случае процесс происходит так, что в точке отражения теряется половина длины волны. Другими словами, фаза волны при отражении меняется на π (180⁰) или меняется на противоположную. В точке отражения приходящая и отраженная волны имеют одинаковые по величине смещения но противоположные по направлению. Суммарное колебание в точке отражения равно нулю. Амплитуда отраженной волны будет меньше, чем проходящей, т.к. падающая волна теряет часть своей энергии на возбуждение волн во второй среде. Проходящая волна на границе раздела фазу не меняет.

Во второй среде скорость распространения волны v2 будет отличаться от скорости распространения волны в первой среде v1. А так как частота колебаний (частота волны) сохраняется – она равна частоте колебаний на границе раздела двух сред, т.е. частоте источника волн ν, то меняется длина волны λ₁ = v₁/ν; λ₂ = v₂/ν.

Коэффициент отражения.

Пусть волна падает перпендикулярно границе раздела. Тогда α₁=0,α₂=π.

Тогда уравнение A₁cos(ωt-k₁xsinα₁)±A_oтрcos(ωt-k_oтрxsinα_oтр)=A₂cos(ωt-k₂xsinα₂)

примет вид: А₁±А_отр= А₂ .

“ + ’’ - отражение без изменения фазы; “ - “ - фаза меняется на противоположную.

При дальнейшем рассмотрении для определенности выберем знак “ +”.

Из закона сохранения энергии I₁ – I_отр =I₂. ( 1 )

Интенсивность волны I = ∆W/S∆t = P/S.

Пусть ∆t > T.За время ∆t через поверхность пройдет энергия, содержащаяся в объеме ∆V = Su∆t, где u- скорость волны. ∆W = wSu∆t,w- средняя плотность энергии волны

w = W/V = ½ ρω²А² ; (w=mω²А²/2V =ρVω²А²/2V),

W= ½ mω²А²- энергия мысленно выделенного объема.

( 2 )

В этом выражении z=ρu называется акустическим или волновым сопротивлением.

Подставляя в (1) выражение (2) будем иметь: ½ ρ₁u₁ω²А₁²- ½ρ₁u₁ω²А_отр²=½ρ₂u₂ω²А₂² ( 3 )

Из (3) получаем: ρ₁u₁(А₁ ² - А_отр² ) = ρ₂u₂А₂². ( 4 )

Но из начального условия А₁ + А _отр = А₂. ( 5 )

Решая систему уравнений ( 4 ) и ( 5 ) получим:

А_отр= ( 6 )

Из (6) следует:

1. если ρ₁u₁>ρ₂u₂, волна отражается от среды с меньшим акустическим сопротивлением, то амплитуда отраженной волны имеет положительный знак; фаза при отражении не изменяется,

2. если ρ₁u₁<ρ₂u₂, то амплитуда отраженной волны отрицательна; фаза волны изменяется на противоположную.

Интенсивность отраженной волны I_отр ~ А_отр²; А_отр² = А₁² I_отр = I₁R,

где R- коэффициент отражения.

Если волновые сопротивления двух сред мало отличаются, то коэффициент R ≈ 0 и волна целиком переходит из одной среды в другую. Из второго равенства (6 ) I₂ = I₁ .

При сильной разнице в значениях волновых сопротивлений R→1, волна практически полностью отражается и во вторую среду не переходит.

Коэффициент прозрачности второй среды

Поглощение звуковых волн. Связано с различными необратимыми процессами при прохождении звуковой волны в среде - внутренним трением, теплопроводностью. Это приводит к поглощению звуковой энергии и уменьшению интенсивности звуковой волны. Интенсивность звука, прошедшего слой вещества толщиной х выражается формулой: I(x)=I₀e^-αx, где I₀- Интенсивность падающего звука, α- коэффициент поглощения, зависит от частоты. С увеличением частоты коэффициент поглощения возрастает~ν², поэтому низкие звуки распространяются дальше высоких. Особенно сильно поглощаются ультразвуки.

В архитектурной акустике для больших помещений играет существенную роль гулкость или реверберация этих помещений. Время в течение которого энергия звука уменьшается до одной миллионной начального значения называется временем реверберации.

Пусть β- коэффициент поглощения при отражении, пусть число отражений n, тогда уменьшение плотности энергии dW за время dt равно: dW = Wβndt,

Или после интегрирования получим: W=W₀e^-βnt, где W₀- плотность звуковой энергии в начальный момент времени. Коэффициенты отражения β для некоторых материалов: для бетона 0,015; оштукатуренной кирпичной стены 0,025; ковра 0,20; войлока (толщина 2,5см на расстоянии 8см от стены) 0,78.