2.Функциональные ряды

СР

Определение. Функциональным рядом называется ряд

un (x) .

(2.1)

n 1

При фиксированном значении x x0

получается числовой ряд

un (x0 ) ,

(2.2)

n 1

который может сходиться или расходиться.

Определение. Совокупность точек, в которых ряд (2.1) сходится, называется обла-

стью сходимости этого ряда.

n

Определение.

Частичной суммой ряда (2.1) называется функция Sn (x) uk (x) .

k 1

Остатком ряда называется функция Rn 1 (x)

uk (x) .

k n 1

Определение.

Если существует предел

S(x) lim Sn (x) , то его называют суммой

n

ряда (2.1).

Пример. Найти область сходимости ряда xk .

k 1

►Это ряд геометрической прогрессии с первым членом

и знаменателем

. Как было доказано в п. 1.2, ряд сходится при

и его сумма равна

◄

Определение. Функциональный ряд (2.1) называется мажорируемым в области D ,

если существует такой сходящийся положительный числовой ряд

k

,

(2.3)

k 1

что

un (x)

n

n и x D .

(2.4)

Ряд (2.3) называется мажорантным.

Пример.

. Общий член ряда равен

. Рассмотрим ряд, со-

ставленный из модулей:

.

Поскольку

и ряд

сходится, то по первой теореме сравнения ряд

сходится при лю-

бом

.

Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно при любом

◄

Теорема 1 (о сумме ряда непрерывных функций). Пусть ряд (2.1) - мажорируемый

на отрезке [a, b]. Пусть функции un (x)

( n 1, 2,... ) непрерывны на этом отрезке. Тогда

сумма ряда (2.1) есть функция, непрерывная на отрезке [a, b].

b

b

un

(x) dx un (x) dx .

a n 1

n 1 a

n

3)

ряд

u (x)

- мажорируемый на отрезке [a,b] .

n 1

n

n

Тогда

u

(x)

x (a, b) .

u (x)

n 1

n 1

x x0

n ,

an

(2.5)

n 0

где

,

.

Если сделать замену x x0

y , то получим ряд

an y n . Поэтому в дальнейшем

n 1

будем рассматривать только ряды вида

an x n .

(2.6)

Доказательство. Пусть ряд an x n

сходится при

. Тогда по теореме

n 1

Абеля ряд сходится абсолютно при любом

, удовлетворяющем условию

. Обо-

значим

. Тогда ряд (2.6) сходится абсолютно в интервале

.

Если ряд расходится в точке

, то по теореме Абеля ряд расходится при

любом

, удовлетворяющем условию

, т.е. вне интервала

на любом отрезке [ r, r] , целиком лежащем внутри интервала сходимости ( R, R) .

Доказательство. По условию теоремы ряд (2.6) сходится абсолютно x :

x

R .

Так как r R , то числовой ряд an r n сходится абсолютно. Поскольку

an xn

an

r n

n 0

x [ r, r] , то ряд (2.6) мажорируем на отрезке [ r, r]

x

n

Пример. Определить интервал сходимости ряда

и исследовать его по-

n

(n 1)

n 0 3

ведение на концах этого интервала. Ответ: [ 3, 3) .

Замечание. Если интервалом сходимости ряда (2.6) является интервал ( R, R) , то

интервалом сходимости ряда (2.5) будет интервал (x0 R, x0

R) .

Пусть функция f (x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки

x0 . Тогда

для нее верна формула Тейлора:

n

(k )

(x0 )

f (x)

f

(x x0 )k Rn 1 (x) .

(2.7)

k 0

k!

Определение. Ряд

(k )

(x0 )

f

(x x0 )k

(2.8)

k 0

k!

называется рядом Тейлора для функции

f (x) , независимо от того, сходится он или нет.

(k )

При x0 0 из (2.8) получаем ряд

f

(0)

xk , который называют рядом Маклоре-

k 0

k!

на.

Теорема 1 (о ряде Тейлора). Для того чтобы при некотором значении x

имело ме-

сто разложение

f

(k )

(x0 )

f (x)

(x x0 )k ,

(2.9)

k 0

k!