Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ряды.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
685.54 Кб
Скачать

18

►По теореме 2 ряд Фурье для данной функции сходится во всех точках. Причем,

и

 

 

 

. График суммы ряда

 

 

на рис. 4.3.

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

2

 

x

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.2

 

 

 

Рис. 4.3

 

Найдем ряд Фурье. Поскольку функция является нечетной, то

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

( 1)

n 1

2 sin 3 x

 

 

x

 

2 sin n x 2 sin x sin 2 x

...

x ( , ) . ◄

n

 

3

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3.Разложение функции в ряд Фурье на произвольном промежутке

Пусть функция

 

 

 

 

задана на промежутке

 

. Сделав замену

 

, получим

 

 

 

 

 

функцию

 

 

, где

 

 

. Для функции

имеет место формула (4.4):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g( y) ~

an cos n y bn sin n y ,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

an

 

g( y) cos ny dy , bn

g( y)sin ny dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвращаясь к переменной

с помощью обратной замены

 

 

, получим

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

 

 

n x

 

 

n x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) ~

 

an

cos

 

 

bn sin

 

,

 

 

 

 

2

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

1 l

 

 

 

n x

 

 

 

1 l

 

 

n x

 

 

 

a

l

 

f (x) cos

l

dx ,

b

l

 

f (x)sin

l

dx .

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

(4.8)

(4.9)

Замечание. По теореме о периодических функциях промежуток

может быть

заменен на любой другой промежуток длины , например, на

или

.

4.4.Разложения только по синусам или только по косинусам

Разложение четной функции. Если функция

является четной на отрезке

, то

функция

 

- четная, функция

 

- нечетная и по лемме 1 из п. 4.2

 

 

 

 

,

 

 

 

,

 

 

Следовательно, ряд Фурье четной функции содержит одни косинусы:

 

 

 

 

 

 

 

a0

 

 

 

n x .

 

 

 

 

f (x) ~

 

an

cos

 

 

 

 

2

n 1

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложение нечетной функции.

Если функция - нечетная на отрезке

функция

 

- нечетная, функция

 

 

 

 

 

- четная. Тогда по лемме 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, ряд Фурье нечетной функции содержит одни синусы:

 

n x .

f (x) ~ bn sin

n 1

l

 

19

(4.10)

(4.11)

, то

(4.12)

(4.13)

Произвольная функция. Пусть функцию , заданную на отрезке , требуется разложить в ряд только по косинусам. Доопределим функцию на промежутке так, чтобы получилась четная функция:

Для функции

верно разложение (4.11) только по косинусам:

 

с коэффициентами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку на отрезке

 

 

 

 

, то

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для любого

.

(4.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично можно разложить в ряд только по синусам функцию

, заданную на

отрезке [0, l]. Для этого ее нужно доопределить на промежутке

 

так, чтобы получи-

лась нечетная функция:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

для любого

,

(4.16)

где

(4.17)

Замечание. Оба разложения (4.15) и (4.16) верны только на отрезке [0, l].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

1,

x [0,

/ 2],

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры. Дана функция

f (x)

x ( / 2,

].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

1. Разложить функцию в ряд только по синусам. По формулам (4.16), (4.17) получа-

ем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

/ 2

 

2

 

 

 

n

 

 

4

 

2

n

 

bn

 

 

f (x)sin nx dx

 

sin nx dx

 

 

cos

 

1

 

 

sin

 

 

,

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

0

 

0

 

n

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) ~ bn

sin

n x bn sin nx

4

 

sin 2

n sin nx ,

 

.

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

l

 

n 1

 

 

 

 

n 1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Разложить функцию только по косинусам. По формулам (4.15), (4.14) получаем:

 

 

2

 

2

/ 2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

/ 2

2

 

n

 

a0

 

f (x) dx

 

dx 1, an

 

 

f (x) cos nx dx

cos nx dx

sin

,

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) ~

 

 

sin

2 cos nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1