n

(k )

(x0 )

f (x)

f

(x x0 )k Rn 1 (x)

k 0

k!

Теорема 2 (о ряде Маклорена). Пусть

1)

функция f (x) бесконечно дифференцируема в интервале (a, a) ,

2)

f (n) (x)

L

x ( a, a),

n .

(2.10)

Тогда для любого x (a, a) имеет место разложение

(k )

f (x)

f

(0)

xk .

(2.11)

k 0

k!

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

СР

x

n

( 1)

n 1

x

n

e x

,

x

ln(1 x)

,

x ( 1,1]

n!

n

n 0

n 1

cos x

( 1)

n

x2 n ,

x

sin x

( 1)

n

x2 n 1 ,

x

n 0

(2 n)!

n 0

(2 n 1)!

x

2 n 1

x

2 n

sh x

, x

ch x

,

x

(2 n

n 0

1)!

n 0

(2 n)!

( 1)

n

x

2 n 1

1

arctg x

,

x [ 1, 1]

( 1)n xn ,

x ( 1,1)

1 x

2 n 1

n 0

n 0

m (m 1)...(m n 1)

(1 x)m 1

xn ,

x ( 1,1) ,

m R \ N,

m 0

n 1

n!

Замечание.

Если

m N ,

то

можно

применить

бином

Ньютона:

m

(a b)m Cmn a m n bn , где

. Здесь в правой части находится конечная сум-

n 0

ма, а не ряд!

Доказательство. Докажем первую формулу. Из первого семестра известна формула

n

k

Маклорена e x

x

Rn (x) .Функция

f (x) e x

бесконечно дифференцируема x R .

k 0

k!

f (n) (x)

e x

ea x [a, a] , где a

- любое число. Тогда по теореме 2 имеет место

x

n

разложение e x

, x [ a, a]. Так как a произвольно, то разложение имеет место

n 0

n!

Пусть требуется вычислить значение функции

с точностью . Пусть разложе-

ние функции в ряд Маклорена имеет вид:

Если

, то точное значение функции в точке равно

Если отбросить члены ряда, начиная с

-го, то получим приближенное значе-

с точностью

.

Таким образом, для оценки

точности вычисления нужно оценить остаток ряда

в точке . Если ряд

- знакочередующийся, то можно

Пример. Найти приближенное значение cos 2 с точностью 0,1.

►

, где

. Погрешность вычисления равна:

.

Остаток

является знакочередующимся рядом,

. Проверим, вы-

полняются ли для него условия теоремы Лейбница.

1)

. Следовательно,

. Та-

ким образом, члены ряда

убывают по модулю.

2)

.

Следовательно, по теореме Лейбница ряд

сходится и его сумма не превос-

ходит первого члена остатка:

.

Найдем, сколько членов ряда Маклорена нужно оставить, чтобы требуемая точность

была достигнута:

.

При

получаем

; при

получаем

.

Следовательно, при

с точностью 0,1. Если вычислять

на калькуляторе, то получим

,

◄

3.2.

Приближенное вычисление интегралов

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

. Пусть ряд Маклорена

для функции

имеет вид:

Если

и выполнены условия теоремы 2 о почленном интегрировании

ряда из п. 2, то

.

Пусть требуется вычислить неопределенный интеграл

, то есть требуется

найти первообразную

. Тогда применяется формула:

x

t 2

Пример. Вычислить приближенно интеграл

e

dt .

t

1

t 2

2 n

2 n 1

По формуле Маклорена

e

1

t

t

.

Рассмотрим ряд

t

t

n!

n!

n 0

n 0

2 n 1

t

.

(3.1)

n 0 n!

Функции a

(t)

t 2 n 1

непрерывны на

( , ) . Так как

n

n!

lim

an 1

lim

t

2 n 1 n!

lim

t

2

0 1

t ,

2 n 1

n

an

n (n 1)!

t

n n

1

то по признаку Даламбера ряд (3.1)

сходится абсолютно

. Радиус сходимости