|
|
|
4 |
|||
Пример. Ряд |
|
расходится, так как |
|
|
|
◄ |
|
|
|
||||
Замечание. Если выполнено необходимое условие сходимости: |
|
|
|
, то из |
||
этого не следует сходимость ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться.
1.4.Положительные ряды
|
|
|
Определение. Ряд ak |
называется положительным, если an 0 |
n . |
k 1
Очевидно, что для положительного ряда Sn Sn 1 .
Теорема (основная). Положительный ряд всегда имеет сумму. Если частичные суммы ограничены сверху, то ряд сходится; если не ограничены, то расходится.
|
1 |
|
|
Определение. Ряд |
называется гармоническим. |
||
n |
|||
n 1 |
|
Гармонический ряд расходится, так как его частичные суммы не ограничены сверху.
|
1.4.1. |
Теоремы сравнения положительных рядов |
|
|
СР |
Пусть даны два положительных ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak , |
|
(А) |
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bk . |
|
(B) |
|
|
k 1 |
|
|
|
Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть an bn |
n N , где |
– некото- |
|
|
рое натуральное число. Тогда |
|
|
|
|
1) если ряд (B) сходится, то сходится и ряд (А); |
|
|
|
|
2) если ряд (А) расходится, то расходится и ряд (В). |
|
|
|
Доказательство. Так как отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его сходимости (теорема 1, п. 1.3), то можно считать, что an bn n .
Обозначим частичные суммы рядов (А) и (В) через An |
и Bn соответственно. Тогда |
An Bn . |
(1.7) |
1) Пусть ряд (В) сходится. Тогда по основной теореме частичные суммы Bn ограни- |
|
чены сверху, то есть существует такая константа |
C , что выполняется неравенство |
Bn C n . Из неравенства (1.7) следует, что ограничены сверху и частичные суммы An .
По основной теореме ряд (А) сходится.
2) Пусть ряд (А) расходится. Предположим, что ряд (В) сходится. По только что доказанному первому утверждению теоремы ряд (А) также сходится. Полученное противоречие доказывает второе утверждение
Теорема 2 (предельный признак сравнения). Пусть существует предел
lim an K (0 K ) . (1.8)
n bn
1) Если ряд (В) сходится и K , то ряд (А) сходится.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2) Если ряд (В) расходится и K 0 , то ряд (А) расходится. |
|
|
|||||||
|
(При 0 K оба ряда либо сходятся одновременно, либо расходятся). |
|
||||||||
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1) Пусть ряд (В) сходится и K . Так как |
lim |
an |
K , то 0 |
N 0 : |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
an |
|
|
|
|
K b |
|
||||
K |
|
n N . Отсюда получаем, что a |
|
|
n N . По теореме 3 из |
|||||
|
n |
|||||||||
bn |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
п. 1.3 ряд K bn сходится. По первой теореме сравнения сходится и ряд (А).
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Пусть ряд (В) расходится и K 0 . Тогда |
lim |
bn |
|
1 |
|
|
|
1 |
. Ряд (А) дол- |
|
|
an |
|
|
|||||
|
n an |
lim |
|
|
K |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n bn
жен быть расходящимся, так как в противном случае по доказанному выше утверждению 1 сходился бы ряд (В)
Следствие. Если an ~ bn при n , то ряды (А) и (В) одновременно или сходятся или расходятся.
1.4.2. Признаки сходимости положительных рядов
Рассмотрим положительный ряд
(1.9)
Признак Даламбера. Пусть
. |
(1.10) |
Тогда
1)если , то ряд (1.9) сходится;
2)если , то ряд (1.9) расходится.
Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда (1.9) не возрастают:
|
|
|
|
|
. |
Пусть |
– непрерывная, невозрастающая функция такая, что |
||||
|
|
, |
|
, …, |
, … |
Тогда интеграл |
и ряд |
|
либо сходятся одновременно, либо расхо- |
||
дятся одновременно. |
|
|
|
|
|
Признак Коши. Пусть |
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|||
1)если , то ряд (1.9) сходится;
2)если , то ряд (1.9) расходится.
Примеры |
|
|||||
1. |
|
|
|
|
. Сходится по признаку Даламбера. |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
. Расходится по радикальному признаку Коши. |
|
||
|
|
|
||||
3. |
|
|
|
(обобщенный гармонический ряд). Сходится при |
, расходится при |
|
|
|
|
||||
по интегральному признаку Коши.
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4. |
|
|
|
. Сходится по следствию 1. |
|
||
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
. Расходится по первому признаку сравнения, так как расходится ряд |
||||
|
|
||||||
|
|
и |
|
|
◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.5. |
|
Знакочередующиеся ряды |
|
||||
|
Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида |
|
|||||
|
|
|
, |
(1.11) |
|||
где |
. |
|
|
|
|||
Теорема Лейбница. Пусть
1)члены ряда (1.11) убывают по модулю:
|
|
|
; |
|
|
|
|
(1.12) |
||||
2) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.13) |
Тогда ряд (1.11) сходится и для его суммы верно: |
. |
|
||||||||||
Замечание. |
Все выше сказанное можно сформулировать и для ряда |
, |
||||||||||
так как |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
Пример. Исследовать на сходимость ряд |
|
. |
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
► |
|
. |
|
|
|
|
|
|
. Первое условие теоремы Лейбница вы- |
|||
|
|
|
||||||||||
полнено. |
|
|
|
|
|
|
. Второе условие теоремы Лейбница выполнено. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, ряд сходится◄
1.6. Знакопеременные ряды Определение. Ряд
(1.14)
называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Знакочередующиеся ряды есть частный случай знакопеременных.
Определение. Ряд (1.14) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
. |
(1.15) |
Теорема (об абсолютно сходящемся ряде). Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Определение. Если ряд (1.14) сходится, а ряд (1.15) расходится, то говорят, что ряд (1.14) сходится условно.
Примеры. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.
1.
(сходится условно).
2. (сходится абсолютно)◄